小学数学代数思想

小学数学代数思想（精选15篇）

1.小学数学代数思想 篇一

1、认识整千数(记忆：10个一千是一万)

2、读数和写数(读数时写汉字写数时写阿拉伯数字)

①一个数的末尾不管有一个0或几个0，这个0都不读。

②一个数的中间有一个0或连续的两个0，都只读一个0。

3、数的大小比较

①位数不同的数比较大小，位数多的数大。

②位数相同的数比较大小，先比较这两个数的最高位上的数，如果最高位上的数相同，就比较下一位，以此类推。

4、求一个数的近似数

记忆：看最位的后面一位，如果是0-4则用四舍法，如果是5-9就用五入法。

5、最大的几位数和最小的几位数

最大的一位数是9，

最小的一位数是0.

最大的二位数是99，

最小的二位数是10

最大的三位数是999，

最小的三位数是100

最大的四位数是9999，

最小的四位数是1000

最大的五位数是99999，

最小的五位数是10000

最大的三位数比最小的四位数小1。

6、被减数是三位数的连续退位减法的运算步骤

①列竖式时相同数位一定要对齐;

②减法时，哪一位上的数不够减，从前一位退1，在本位上加上10再减;如果前一位是0，则再从前一位退1。

7、在做题时，我们要注意中间的0，因为是连续退位的，所以从百位退1到十位当10后，还要从十位退1当10，借给个位，那么十位只剩下9，而不是10。(两个三位数相加的和:可能是三位数，也有可能是四位数。)

8、公式

被减数=减数+差

和=加数+另一个加数

减数=被减数-差

加数=和-另一个加数

差=被减数-减数文

2.小学数学代数思想 篇二

关键词：高等代数,数学建模思想,问题,策略

前言

高等代数作为高等院校数学专业的一门重要基础课程之一, 是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充, 引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量, 比如最基本的有集合、向量和向量空间等。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称, 它包括许多分支, 现阶段大学里开设的高等代数, 一般包括两部分:线性代数初步、多项式代数。高等代数具有非常强的抽象性、逻辑性, 传统教学过程中忽视了课程广泛实用性的重要作用, 对学生进行进一步研究和学习形成了严重的阻碍, 导致很多学生在学习过程中出现了厌学现象, 学生学习积极性、主动性差, 高等代数课堂教学质量和效率难以提高, 数学专业高等代数课堂教学目标难以实现。

一、高等代数学习与数学建模思想渗透的重要性

根据实践教学经验发现, 大部分学生在学习向量空间、特征值、线性变换以及谱理论代数内容会感到困难, 而且难以将学习到的高等代数知识运用到实践中, 高等代数教学目标难以真正得到实现。将高等代数与数学建模思想进行渗透, 可以使学生更加清晰看出高等代数研究题型的问题, 找到解题思路, 从而增强学生学习高等代数的兴趣。数学建模指的是对于现实世界某一特定研究对象针对某个目的做简化假设, 采用适当的教学工具, 建立相应的数学模型, 通过对模型的认识解决数学问题。通过这种方式可以引导学生掌握分析问题、应用数学知识解决实际问题的有效学习方法。另一方面, 高等代数课程学习具有一定的抽象性, 如果让学生根据题目直接解答, 可能会造成很大的障碍, 学生解答不出来这些问题, 也会对学生的积极性与热情形成一定的伤害。如果采用数学建模的形式展开学习, 让学生根据直观模型分析问题, 观察问题的特点, 并应用高等代数相关知识解决问题, 就能有效提高学生学习高等带式的兴趣, 充分调动学生学习的积极性和主动性, 从而真正实现高等代数学习的重要意义。

二、高等代数学习存在的问题

高等代数学习课程一般开设在大学一年级, 学生刚才应试教育模式走出来, 深受固定思维模式的影响, 缺乏创新和探索精神, 难以真正学好高等代数。而大一高等代数课程的特点是课程内容多、课时少, 教师在课堂教学过程中依然采用传统教学模式, 忽略了对教学方法和教学模式的更新, 在教学过程中没有合理应用计算机多媒体等教学辅助工具, 教师以完成教学任务为目标进行教学, 学生被动接受知识, 机械的进行高等代数学习, 学生并没有真正了解高等代数的内涵和重要意义, 这使得很多学生对高等代数学习产生了严重的厌学心理, 不愿意花费更多时间去研究高等代数更加有意义的题目, 无法用数学语言解决身边实际问题, 对数学建模思想缺乏正确的认识, 课堂教学质量和效率难以提高, 学生学习的积极性和主动性不强。

三、高等代数学习中数学建模的应用实例

例如:某人购房, 需要贷款, 有利用等额本金还款法。贷款40年, 还款期10年, 分别求:

1.月供金额。2.总的支付利息。

(一) 分析问题

等额本金还款法:每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时, 每月负担比等额本息要重。但随着时间推移, 还款负担便会减轻, 等额本金还款法适合目前收入较高的人群。

(二) 假设问题

1.假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。2.假设贷款年利率确定, 无论还款期为多少年, 在还款期间均为6%保持不变。3.假设银行贷给该人的本金是在某个月的1号一次到位的, 在本金到位后的下个月1号开始还钱。

(三) 建立数学模型

等额本金还款法 (递减法) :每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此, 客户每月除付给银行每期应付的本金外, 还要付给银行没还的本金的利息.

1.假设贷款期在1年以上。等额本金还款法:每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担不同。利息负担随本金的偿还逐期递减。所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。

设客户第i期应付的金额为 (i=1, 2…, n) (单位:元)

因此, 客户第一期应付的金额为:

第二期应付的金额为:

如果选择等额本金还款法, 那么, 在第53期, 应该还银行4450.00元, 在第53期, 应该还银行4433.33元, 与等额本息每月4440.82元相当.而在第120期 (若年利率不变) , 应该还银行3333.33元, 即最后一次只还本金。可以看出, 等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入, 等额本息还款法还款会更合适.

2.1年期的贷款, 银行都要求客户实行到期一次还本付息, 利随本清。因此, 1年期的还款总额为:13898.41, 而利息负担总和为:13898.41

结束语

综上所述, 高等代数学习与数学建模思想融合具有非常重要的意义, 可以使高等代数变得更加具体化, 对调动学生学习积极性和主动性具有非常重要的作用。因此, 高等院校高等代数要提高教学质量, 完成教育教学目的, 必须融入数学建模思想。

参考文献

[1]杨刘.在《高等代数》课程教学中融入数学建模思想研究[J].教育教学论坛, 2013, (13) :236-236, 237.

[2]王美娜.高等代数学习与数学建模思想的相互渗透[J].考试周刊, 2011, (68) :57-58.

3.小学数学代数思想 篇三

关键词：数形结合；研究环境；例题类型

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）14-231-01

在数学的学习中，“数形结合的思想”作为一种数学研究的重要方法，在教育教学的过程中，应该予以着重强调。在数学学习的初级阶段，应该让学生拥有这种思考问题的意识，在解决实际数学问题中能够有意识应用这种研究方法，使一些复杂的代数问题变得简单，使一些抽象的代数问题变得更加直观。作为教师，在课堂中，讲解比较抽象的代数概念时，也应该有意识的应用“数形结合的思想”进行讲解。因此，在实际应用过程中让学生领悟到“数形结合思想”的真正意义所在和使用方法，以至于可以让学生在日常解决问题时使用“数形结合法”时能够融会贯通。

一、对于数形结合法研究环境的探索

在研究“数形结合思想”时，我们必须要首先引入研究的环境。在研究“数系”时，我们引入“数轴”的概念；在研究“函数”时，我们引入“平面直角坐标系”的概念。注意在教育教学过程中，我们必须向学生强调引入全新研究环境的概念，对于“数形结合法”的实践的重要作用——为了让所研究的代数符号，在空间中有具体且唯一的图形概念与之对应。

这就是我们要说的“数轴”与“平面直角坐标系”，下面我分别具体列述它们的意义：“数轴”作为引入“负数”概念的重要理解方法，在浙教版数学教材七年级上册中有具体的涉及。数轴作为一条具有“正方向”、“单位长度”、“原点”三要素的一条特殊的直线，能够清楚的表达数系内的一切有理数。任何代数形式的图像化，具有一个通性，即“代数形式与图形，在相同的研究环境下，有且唯一”，这一通性使数学研究保持其严密性、客观性。而保持这种通性的方法只有完善研究环境。

在有理数系研究中，我们利用数轴作为研究环境。其中“正方向”确定了一组数的大小情况；“原点”，确定了整个数轴在整个有理数系中的相对位置；“单位长度”均分数轴，以此确定每一个数的具体位置。由此，我们可以保证每一个数在数轴中的表示“有且唯一”。且图形统一为落在数轴上的各个点。这种表示方法，满足“代数形式与图形转换”时的“通性”，保证了通过数轴研究有理数系的严密性、客观性。在有关数轴的研究中，我们通常不研究在数轴中的单一的、孤立的数据，通常是一组有限个或者是无限个数据。在研究有限多个数据或无限多个数据时，利用数轴的研究方法具有其优越性。数轴可以利用一串有限多个或无限多个的点、又或是一段线段来直观地表示具有某一特定性质，如在某一特定区间中的数。这种研究方法在集合的运算及不等式运算中应用得相当普遍。

作为研究环境，在满足“数形结合”环境的通性，即“代数形式与图像图形有且唯一的对应”的情况下应该具有其应有的“可替代性”。在代数研究需要的情况下，我们可以重新定义坐标的图形意义。在高中数学中，平面直角坐标系与极坐标系可以发生合理的转换。对于极坐标方程 有特定的平面直角坐标系方程 与之对应。在“原点与极点重合”、“单位长度相等”的情况下，保证两种代数表达法所对应的图像完全重合。表面上是代数形式的种类出现了变化，实际上是研究环境出现了变化，使图像所对应的代数形式更加简便，方便精确的研究。一般的二维平面直角坐标系只能够解决一般的平面图形，对于立体图形我们利用三维空间直角坐标系来进行数形结合。将在空间直角坐标系中的各个点进行代数化，转变成 的三维坐标形式，进行代数形式计算。因此具体的图形计算，在研究环境的帮助下全部可实现代数化。

二、数形结合题型的范例式分类

在利用到“数形结合思想”的题目中，也可以大体的分为几个类型，“定义类”、“代数转化图像类”、“图像转化代数类”。在实际教育教学过程中，应该让学生主观的建立题型的整理能力。在“数形结合法”适用的题型中，我们也应该注意类型的区别，这样在实际的应用中才能够准确地答题。

1、定义类

例如：利用了绝对值的定义，将比较抽象的代数形式，通过基本的定义转化成了比较直观的图形，即线段长度的比较，充分的体现出了“数形结合”的优越性。在教育教学的过程中，我们在引入负数和绝对值概念时，对于数轴的概念必须着重强调。数轴是研究实数系的重要工具，使实数系中的各个数在数轴上有与之唯一对应的图像表示，是数系问题利用“数形结合法”的桥梁。在高中数学，集合的学习中，对于一般形式的集合，我们可以通过韦恩图来数形结合表示集合的相关运算。这种求公共部分的方法，属于求公共部分的原形，是学生理解“数形结合”理念中，图像的交集与代数式形式的交集的第一步。

2、代数转化图像类

例如：在函数的计算中，关键的点坐标是必须抓住的。这是提供学生正确的函数解析式的第一步。而这些点的获取一般我们可以通过研究函数解析式的方法得到，如“连列解析式求交点”等，但是这种一般的方法对于代数计算量的要求往往是极大的。在这种情况下，往往可以从“数形结合法”得到突破。学生们可以暂时脱离函数的大框架，对于关键点进行几何的定位，求得一些边长来作为关键点的横纵坐标，再联系函数解析式轻松解得关键点的坐标。

3、图像转化代数类

例如：在实际的解题过程中，我们可以将复杂的几何问题，通过设定适当的研究环境（建系），来求的具体的数值。

4.小学数学代数思想 篇四

向代数思维过渡

在每个学生数学学习的历程中，“字母” 的出现都是一次认识上的飞跃。在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从算术思维向代数思维进行过渡。学习“字母表示数”的过程是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。

1、在低、中年级孕伏代数思维

学生从算术思维向代数思维过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战。教师在教学中应对不同的学生给予不同的关注和辅导，与此同时，教师还应着眼于学生的发展，整体把握目标的达成。也就是说，“字母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培养，不一定也不应该等到这个时候才开始，需要孕伏。那么这样的孕伏就不能，也不应该仅仅是高年级老师的教学任务。各年段的教师都应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟。

2、从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。

算术思维着重的是利用数量计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维就其本质而言是一种关系思维，它的要点是发现关系和结构，以及明确这些关系与结构之间的关系。代数思维的运算过程是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。结构化、符号化、抽象化及概括化是代数思维的特点。

5.代数学的发展 篇五

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于

整函数的„„。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。高等代数的基本内容

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

高等代数与其他学科的关系

代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？

首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很

大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的„„。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。

高等代数的基本内容

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又

发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

高等代数与其他学科的关系

代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？

首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

6.代数学符号发展的历史 篇六

代数学符号发展的历史

代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他学科联系十分密切的学科，同时代数也是一门基础的数学学科，它为数学本身和其他学科的研究提供了语言方法和手段.是谁最先用字母表示数呢？系统地使用字母表示数的最主要的人是法国的数学家韦达（F.Vieta,1540-1603）.代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡儿改进后成为现代的形式。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用 “＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡儿第一次使用了根号，并引进用字母表中前面的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

7.小学数学代数思想 篇七

一、转化与化归思想

转化与化归思想是指把待解决或未解决的问题, 在一定条件下通过近似、等价、变换等方法转化为已经解决或容易解决的问题, 化难为易, 化繁为简, 从而使得问题得以解决, 它是解决数学问题的基本思想, 是解决很多疑难问题的钥匙, 几乎渗透到了数学的所有内容中。常见的转化与化归方法有换元法、类比法、数形结合法、正与反的转化、整体与局部的转化等, 转化与化归的关键有三个:明确化归对象、寻找化归方法、确定化归目标。线性代数中的很多概念都体现了转化与化归思想。在行列式内容中, 行列式定义为一个特定结构的和式, 行列式的计算最终转化为了求和问题, 求元素的余子式、代数余子式的问题转化为求行列式的问题。在向量和向量组内容中, 向量的线性运算转化为相应的分量 (数) 的运算, 向量组的线性相关性转化为是否存在一组不全为零的常数使得成立, 两个向量组是否等价转化为两个向量组能否互相线性表示。在矩阵内容中, 矩阵的秩转化为向量组的秩, 矩阵幂的定义则是先定义低阶幂, 然后通过低阶幂来定义高阶幂, 分块矩阵是借助了将高阶矩阵降为低阶矩阵的技巧来处理的, 求线性空间中两组不同基之间的过渡矩阵的问题转化为求矩阵方程的问题, 将可以相似对角化的矩阵转化为简单的对角矩阵, 从而降低了计算难度。除此之外, 线性方程组与其向量形式和矩阵形式之间的互化、基变换与过渡矩阵之间的互化、线性变换与其矩阵之间的互化、二次型与其矩阵之间的互化都体现了转化思想, 而化二次型为标准形所做的可逆线性替换则是将一组变元转化为了另一组变元, 这更是转化与化归思想的直接体现。在课堂教学中要时刻渗透转化与化归思想, 向学生清楚地指明哪些概念中蕴含着转化与化归思想, 重点讲解转化的方法和转化的目标。这就需要教师对教材进行深入地分析和研究, 结合具体内容和学生实际, 在教学中突出转化与化归思想的教学, 并通过小结和复习, 不断加强数学思想的教学。

二、数学建模思想

数学建模思想是指针对实际问题, 通过建立相应的数学模型, 运用恰当的数学语言和数学方法加以解决的数学思想, 它是沟通数学与实际问题之间的桥梁, 旨在培养分析和解决实际问题的能力。现在很多高等院校都已开设了数学建模课程, 也有越来越多的人在关注数学建模竞赛。把数学建模思想融入高校数学主干课程中去已是大势所趋。线性代数的许多概念都非常抽象, 如果离开了实例或应用背景而单纯地向学生传授抽象概念的话, 学生会感觉枯燥无味, 学习起来也很吃力。将抽象的数学概念和数学建模思想结合起来, 让学生明白抽象概念背后的实际意义, 既能提高学生的学习兴趣, 对教学效果的提高也能起到事半功倍的效果。为此在将数学建模思想融入到线性代数的概念教学的过程中, 应根据学生的实际接受能力, 尽可能选取恰当的应用实例, 将抽象问题生活化, 从实际问题入手引入基本概念。例如在学习二、三阶行列式时, 用二、三元线性方程组的求解引入;在学习矩阵的乘法概念时, 可以选取总进货额和总销售额问题作为引例;学习矩阵的特征值、特征向量概念时可以选取人口流动模型来引入。教师也可以结合学生的专业特点, 针对不同专业的学生采用不同的应用实例, 以激发学生的学习兴趣。例如, 在引入矩阵的概念时, 对经济类的学生, 可以结合投入产出问题来讲, 对计算机专业的学生, 可以结合通讯网络问题来引入, 对偏文科的学生, 可以结合航空公司航班图问题来讲。同时教师还可以选择一些日常生活中的实际问题, 让学生尝试着建立数学模型进行求解, 加强学生的数学建模意识。通过课内外针对实际问题的数学建模, 使学生体会到课本中的概念都是与实际生活紧密联系的, 加深了对基本概念的理解, 提高了学生学习线性代数的兴趣, 而且让学生体会到了学以致用的妙处和数学建模思想的强大威力, 激发了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性。这里需要注意的是, 数学建模是一个很复杂的过程, 但由于学时的限制, 在引入应用实例时不需要详细讲解数学建模的各个步骤, 重点在于模型的建立以及整个过程中数学思想的体现, 提升学生的数学思维能力。

三、几何思想

几何思想是指在解决代数问题时, 利用问题的几何图形, 将抽象的问题形象化、直观化, 启发思维, 从而解决问题。将抽象的数学语言转化成直观的几何图形, 借助几何解释, 可以帮助我们理解抽象的数学概念和数学理论, 并且可以锻炼空间想象能力和形象思维、抽象思维能力。几何思想与代数思想之间相互渗透, 就是常说的数形结合思想。线性代数中的几乎所有重要概念都有其几何意义。作为最基本的二、三阶行列式都有它们的几何意义, 可以用来求定向面积和体积:以二维列向量为邻边的平行四边形的面积是由它们构成的二阶行列式的绝对值;以三维列向量为相邻棱的平面六面体的体积是由它们构成的三阶行列式的绝对值。对二元线性方程组而言, 如果将方程组中的每一个方程看作是一个平面的话, 则线性方程组有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题:当两个平面重合或者不平行时一定有交点, 此时线性方程组一定是有解的;当两个平面平行但不重合时没有交点, 此时线性方程组无解。若空间中的两个向量共线, 则这两个向量是线性相关的, 否则是线性无关的;空间中的三个向量共面, 则这三个向量是线性相关的, 否则是线性无关的。矩阵的特征向量是指被矩阵变换后能够和自身共线的向量, 而矩阵的特征值则说明了新向量的方向及扩大缩小的倍数。两个相似矩阵表示了相同的线性变换。令二元正定二次型等于任意大于零的常数, 则其图形是以原点为中心的椭圆。在课堂教学中, 教师要根据概念的特点和学生的实际情况, 将线性代数与解析几何结合起来, 利用解析几何形象直观的特点, 给出概念的几何背景, 淡化概念的抽象性, 训练学生从几何角度分析问题、解决问题的能力, 加强学生的数形结合意识, 同时还可以借助多媒体等教学工具帮助学生加深对知识的理解。

四、类比思想

所谓类比思想是指, 通过比较两个不同对象的某些相同或相似属性, 根据其中一个具有的其他属性来推断另一对象也具有相似的其他属性。运用类比思想解决问题的过程是:将原问题利用类比得到类比问题, 通过对类比问题的求解得到原问题类似的解法。而运用类比的关键是要寻找到合适的类比对象。类比是利用旧知识来认识新知识的过程, 通过类比, 加强了不同知识之间的联系, 可以培养学生的创造性思维。在线性代数的概念教学中, 很多概念都可以利用类比思想进行教学。主要有两类:一类是线性代数课程本身内容之间的类比。例如, 由二、三阶行列式的定义类比得到了阶行列式的定义, 由二、三阶行列式求解线性方程组的结论类比得到了克莱姆法则;将平面上的二维向量和空间中的三维向量的概念推广得到了一般的维向量的概念;由线性方程组的初等变换类比给出了矩阵的初等变换的概念;通过类比, 可以很好地区分余子式、子式、主子式和顺序主子式等概念, 能清楚地理解矩阵的等价、相似和合同等关系之间的区别和联系;类比普通矩阵, 进行分块矩阵的运算。另一类是其他数学知识和线性代数知识之间的类比。例如, 将矩阵的运算与数的运算类比, 将单位矩阵的作用与数1的作用类比, 将数量矩阵与数的作用类比, 类比倒数的运算得到了逆矩阵的概念, 将矩阵方程与函数方程类比, 向量内积、长度等内容与学生已知的解析几何知识进行类比, 将二次曲面化标准形问题与二次型化标准形问题对比。在教学过程中, 如果能够将新知识和学生已有的数学知识进行类比, 学生会更容易接受新知识, 还可以达到温故知新的效果。

五、小结

在线性代数的概念教学中, 要把让学生理解、掌握并学会运用数学思想放在和传授知识同等的位置上, 要不断加强数学思想的教学, 提高学生的数学思维能力。同时也应该要注意, 数学思想的教学必须遵循循序渐进、由浅入深、反复渗透等原则, 要有计划、有步骤地进行数学思想的教学, 不能急功近利。

摘要：线性代数中的概念是教学的重点和难点。本文主要介绍了在线性代数的概念教学中如何渗透转化与化归思想、建模思想、几何思想和类比思想等数学思想。通过数学思想的渗透, 学生更深入地理解了概念, 提升了数学思维能力。

关键词：线性代数,概念教学,数学思想

参考文献

[1]白瑞蒲, 刘文丽, 白喜梅, 等.线性代数.北京:科学出版社, 2010.

[2]洪宝剑.线性代数教学中数学建模思想的渗透[J].考试周刊, 2013, (75) :42-43.

[3]王颖.将解析几何融入线性代数教学中的思考[J].高师理科学刊, 2013, 33 (4) :62-64.

8.小学数学代数思想 篇八

关键词： 线性代数；高等代数；对角矩阵；二次型；标准型

【中图分类号】 O153

Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra

（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）

Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.

Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form

資助项目：2014中国民航大学教育教学改革研究课题（项目编号：CAUC-ETRN-2014-54）资助。

1.引言

理工科学生从大一下学期开始一学期的线性代数的学习，数学专业（包括信息与计算科学专业）的学生从大一上或下学期开始为期一年的高等代数的学习。线性代数内容相对高等代数来说简单一些，但一些结论通常不给出证明，而在高等代数中往往会找到相关结论的定理的证明，如果在线性代数课堂适当引入这些证明，学生会有新鲜感和深度感，从而更加认可老师的知识储备，进而更喜欢听老师所讲的内容；高等代数比线性代数多了不少内容，除了多项式之外，还多了 矩阵，欧几里得空间等章节，内容相对线性代数来说要复杂一些，学生会觉得抽象而且无从下手，如果能从线性代数的角度，抓住主要的脉络及代数思想，给学生理清头绪，会让学生觉得轻松很多，从而增加学习高等代数的兴趣。在线性代数和高等代数课程实际教学中，抓住代数思想这根主线，进行二者相通、兼容方面的探索与实践是非常必要和有意义的。

2. 以代数思想为主线-线性代数和高等代数课程教学的相通与兼容

线性代数与高等代数有非常密切的联系，只是线性代数是理工科的公共基础课，而高等代数是数学专业的专业课。本文接下来主要从二次型化标准型方面讨论线性代数和高等代数在教学中相通兼容之处。

2.1二次型化标准型

二次型化标准型，线性代数和高等代数相通的地方就是都涉及了对称阵的对角化问题。在高等代数中，二次型化标准型主要有如下三种方法，设所研究的二次型有如下形式：

（1）配方法：用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：

情形1：如果 ，则集中二次型中含 的所有交叉项，然后与 配方，并作非退化线性替换

对 重复上述方法直到化二次型 为标准型为止。

情形2：如果二次型 不含平方项，即 ，但含某一个 ，则可先作非退化线性替换

把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形1的方法化为标准型。

（2）初等变换法：

用非退化线性替换 化二次型 为标准型，相当于对对称阵 找一个可逆矩阵 ，使 为对角阵。由于可逆矩阵 可以写成若干初等矩阵 的乘积，即 ，从而有 ，

。根据初等变换的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵 相当于对 作一次初等行（列）变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下：

第一步 写出二次型 的矩阵 ，并构造 矩阵 ；

第二步 对矩阵 进行初等行变换和同样的初等列变换，把 化为对角阵 ，并对 施行与 同样的初等列变换化为矩阵 ，此时 ；

第三步 写出非退化线性替换 ，化二次型 。这个方法的示意图如下

（3）正交变换法：

写出二次型 的矩阵 ，求矩阵 的特征值 及相应的特征矢量 ，把特征矢量正交化单位化得 ，把正交化单位化后的特征矢量作为列矢量组成正交矩阵 ，做正交变换 ，则有二次型化为标准型

。

在线性代数中提及了配方法和正交变换法，着重考察正交变换法，对于初等变换法没有涉及，因此在线性代数实际的教学中，可适当引进初等变换法，比起正交变换法，学生更熟悉，简单且易于把握。最后还要从几何的角度告诉学生，正交变换的好处是保持矢量的长度不变，更直观的是，在三维几何空间中，当 时，对应的是坐标轴的旋转变换，进而可把二次曲面的方程化简成标准型，从标准型我们就能判别它是何种曲面了。像这样，在线性代数教学中渗透高等代数和几何的知识，使之相互影响，能更好的激发学生学习线性代数的兴趣和探索代数系统奥秘的动力。

3. 总结

总之，线性代数和高等代数这两门课程在内容上有诸多的相通之处，如果在实际教学中能抓住“代数思想”这根“线”，很好地把二者相结合，相辅相成，必定会对这两门课的教学效果和教学质量起到积极的促进作用。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与高等代数教研室代数小组编. 高等代数（第三.版）[M]. 北京，高等教育出版社，2003

[2] 工程数学-线性代数. 同济大学数学系（第五版）[M]. 北京，高等教育出版社，2007

9.七年级数学奥数题(数与代数) 篇九

1.已知ab1,求a33abb3的值。

2.已知xy3x3y5xy的值。2，求代数式xyx3xyy

abc的值。abc

24.已知m、x、y满足下列条件：（1）(x5)25|m|=0；（2）2a2b11y与3a2b3

是同类项，求代数式

7130.375x2y5m2x{x2y[xy2(x2y3.475xy2)]6.2752}的值。16416

5.如果4a-3b=7，且3a+2b=19，求14a-2b的值。

176.当x=2时，求代数式|x||x1||x2||x3||x4||x5|的值。31

7.若x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？

8.求下列代数式的值： 3.已知a=3b，c=5a，求

（1）a43ab6a2b23ab24ab6a2b7a2b22a4，其中a=-2，b=1。

（2）2a{7b[4a7b(2a6a4b)]3a}，其中a=

9.已知2，b=0.4。711115xy12y4x4()，求代数式348()的值。412x3y412xy

10.已知a=3.5,b=-0.8,求代数式|6-5b|-|3a-2b|-|8b-1|的值。

10.考研数学 线性代数五大考点解析 篇十

精彩链接：

2014考研 让概率论与统计成为利刃

考研数学复习抓重点 重联系 做真题

考研数学复习:注重复习时间系统性

以错补错 提供考研数学复习效果

线性代数的考题与高等数学、概率部分考题最大的不同就是，线性代数的一道考题可能会牵涉到行列式、矩阵、向量等等很多知识点，这是因为线性代数各个章节知识之间联系非常紧密，知识是一个环环相扣且互相融合的。 考研 教育网

线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。因此考研复习重点应该先充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法等等。基本概念、基本性质和基本方法一直是考研数学的重点。

所以，考生在复习中一定要重视基本概念、基本性质和基本方法的理解与掌握，多做一些基本题来巩固基本知识，并及时进行总结，使所学知识能融会贯通，举一反三。

根据以往经验，我们为大家总结了线性代数的通常主要考点：

1、行列式――行列式这部分没有太多内容，行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

2、矩阵――矩阵是一个基础，关联到整个线代。矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算(因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的影响，所以这个地方大家要把它搞清楚)。矩阵运算里一个很重要的就是初等变换。我们在解方程组，求特征向量都离不开这部分内容。这是我们矩阵部分的重点。

3、向量――向量这部分是逻辑性非常强的部分，主要包括证明(或判别)向量组的线性相关(无关)，线性表出等问题，此问题的关键在于深刻理解线性相关 (无关)的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的.概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

4、特征值、特征向量――要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程OλE-AO=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围)，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵。反过来，可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出A.

另外，特征向量就是求齐次方程组的基础解系，你前面基础打牢了，这里又不是新的内容。

5、二次型――二次型的内容是针对于只考数学一、数学三的同学。二次型只要把其矩阵对应写出来，其问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。所以这部分的内容又联系上前面的内容了。把前面的基础打牢，后面的知识自然就掌握了。

11.如何教好数学代数问题 篇十一

为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍，教学中要特别重视“代数初步知识”这一章的教学。它是承小学知识之前，启初中知识之后，开宗明义，搞好中小学数学衔接的重要环节。数学中要把握全章主体内容的深度，从小学学过的用字母表示数的知识入手，尽量用一些字母表示数的实例，自然而然地引出代数式的概念。再讲述如何列代数式表示常见的数量关系，以及代数式的一些初步应用知识。要注意始终以小学所接触过的代数知识（小学没有用“代数”的提法）为基础，对其进行较为系统的归纳与复习，并适当加强提高。使学生感到升入初一就像在小学升级那样自然，从而减小升学感觉的负效应。

初一代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：①数学的特点。②初中数学学习的特点。③初中数学学习展望。④中学数学各环节的学习方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。⑤注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。⑥动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。

学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说法，而现在要把“下降5米”说成“升高负5米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。

我们在正式引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0→扩大自然数集（非负整数集）添进正分数→算术数集（非负有理数集）添进负整数、负分数→有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准备。

正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产300千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即“0”，并规定其中一种意义的量为“正”的量，与之相反意义的量就为“负”的量。用“+”表示正，用“-”表示负。

这样，逐步引进正、负数的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。

初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。

进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：①抓不住相等关系;②找出相等关系后不会列方程;③习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。

这头一个方面是主要的，解决了它，另两个方面就都好解决了。所以，小学数学第八册列方程解应用题教学时，一要使学生掌握算术法和代数法的异同点，并讲清列方程解应用题的思路;二要有针对性地让学生加强把实际中的数量关系改写成代数式的训练，这样对小学生逆向思维有好处，使较复杂的应用题化难为易。初一讲授列方程解应用题教学时，要重视知识发生过程。因为数学本身就是一种思维活动，教学中要使学生尽可能参与进去，从而形成和发展具有思维特点的智力结构。

12.小学数学代数思想 篇十二

一、非负数到有理数

从小学里所学的数 (非负数) 到有理数是一次大的转折, 动摇了学生在小学建立的许多概念和经验, 容易使学生感到困惑和怀疑.由于负数的引入, 带来的绝对值的概念是学生理解的难点.有理数运算中的符号法则, 成了学生最易错的问题.如何让学生把有理数和小学里的算术数统一起来, 是教学中必须解决的问题.笔者认为在教学中应抓住以下几点:

1. 认识引进负数的必要性

小学阶段学生对零上5℃和零下5℃, 运进20吨和运出30吨的理解已很明确了, 这里除了用数字表示外还要用语言来区别相反意义.如何用一个数把它的意义全面表示出来呢?若取一个量的基准为“0”, 并规定其中一种意义的量为正, 与之相反意义的量就为负, 用“+”表示正, “-”表示负.再如, 小学里学过的简易方程, 小学里就会求解, 但有办法求解吗?激发学生的求知欲, 领会到还有算术数不能解决的问题, 而要引进新数, 从而让他们心理上认同引进负数的必要性, 再结合实际, 多举具有相反数意义的事例, 帮助学生加深对符号意义的理解.

2. 重新认识“0”

小学里, 0是最小的数, 0表示没有.这种认识学生已掌握得很牢固.要想改变学生对“0”的记忆已非常困难.“0℃不是没有温度”这个事例很能说明问题, 以此为基础得出0不是最小的有理数也不是表示没有, 在相反数、绝对值、倒数等的教学中突出“0”的特殊性, 重视对非负数、非正数的理解, 以达到学生对“0”的重新认识.

3. 注意数形结合

正确理解数轴概念是理解相反数、绝对值、有理数的大小比较、有理数的运算法则的关键.教学中要运用数轴, 让学生主动参与, 通过具体的模型感知, 逐步抽象出来.在利用数轴得出有理数的运算规律的基础上, 让学生理解有理数的运算分两步:小学里学过算术数的运算, 加上符号法则.要特别注意先定结果的符号, 再定结果的绝对值.

二、数到字母

字母表示数是在小学数的概念基础上更高一层次的抽象, 是数学思维上的一次飞跃.字母是表示数的, 但又不表示一个具体的数, 这正是七年级学生的思维困难之处, 教学中应注意以下几点:

1. 字母表示数的必要性

字母表示数简明扼要地表达数量间的关系, 是对具体数据的抽象和概括, 可以更方便地解决问题.从小学里学过的用字母表示数的知识入手:如等.用一些字母表示数的实例降低学习的难度, 让学生理解用字母表示数的意义和目的, 感知代数的本质.

2. 加深对字母的认识

首先弄清符号“-”的三种作用. (1) 表示运算符号, 如2-5; (2) 表示性质符号, 如-2; (3) 表示一个数的相反数, 如- (-3) ;再弄清字母a表示一个有理数, 字母a可以是一个正数、负数, 也可以是零.这样学生才能真正理解a, -a的意义.

三、算术法到代数法

苏教版七年级第四章一元一次方程教材分为三部分.从问题到解方程, 解一元一次方程, 用方程解应用题, 教材安排非常合理, 有效地分散了难点, 也有利于从小学到初中的过渡.小学解应用题是把某知识量放在特殊位置, 设法通过该量求出未知量, 而中学则要求把未知量与已知量放在同等位置, 寻找各个量之间的相等关系, 通过方程求解.小学算术讲究逆推思维, 强调套类型.中学讲究顺向推展, 灵活运用.学生初学时, 习惯于小学算术的思维定势, 对代数法不适应, 简易方程的应用, 虽然在小学里也学过, 但相对而言, 是零散的、具体的, 而中学则是抽象的, 理论化的, 更科学、更完整.在教学中应重点解决以下问题:

1. 有针对性的进行比较

尊重实际, 要肯定算术解法的合理性.在初学时, 允许学生用算术法或代数法解题, 不急于求成.教学中, 注意比较两者之间的联系和差异, 体会代数法的优越性.例如, 比一个数的2倍小1的数是13, 求这个数.算术解法是列式 (13+1) ÷2.代数解法则是:设这个数为x, 列方程2x-1=13.再请学生说出各自的解题依据, 明显地感到算术方法不方便解题.

2. 重视知识的形成过程

教学中尽可能让学生参与读题、审题、提炼相等关系、列方程、解方程的过程, 通过实践归纳类型, 培养学生独立解题时读题和审题的针对性、准确性, 不断提高解题能力.

13.07年考研数学试题(线性代数) 篇十三

选择题（每小题4分）

2111.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A121，112

100，则A与B（）B010000

（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；

（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；

2.（07020904、07030704、07040704）设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

（A）12,23,31 ；（B）12,23,31；

（C）122,223,321 ；（D）122,223,321.二、填空题（每小题4分）

003.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A00

秩为.三、解答题 1000010000，则 A3 的10

x1x2x304.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组x12x2ax30①

2x14x2ax30

与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为 λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量1(1,1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 T

14.小学数学代数思想 篇十四

一、填空。

1.含有未知数的叫做方程，表示两个比()的式子，叫做比例。

2.用字母表示乘法分配律是()，用字母表示梯形的面积公式是()。

3.李师傅t小时加工了a个零件，表示()。

4.=()∶3=48∶()=8∶()=()∶1

5.比的后项是3.2，比值是8，比的前项是()。

6.1.5∶0.75化成最简整数比是()，比值是()。

7.5x+2=3的解是x=()。

8.果园里桃树和梨树棵数的比是5∶4，桃树占两种树总棵数的()。

9.等底等高的三角形和平行四边形面积的比是()。

10.∶6如果前项扩大6倍，要使比值不变，后项应该是();如果前项和后项都除以，比值是()。

二、判断题。(对的打“√”，错的打“×”)

1.a2表a乘2。…………………………………………………………………………()

2.所有的方程都是等式，所有的等式都是方程。……………………………………()

3.=5这个式子不是方程。…………………………………………………………()

4.树苗的成活率是90%，已活棵数与总棵树的比是9∶10。………………………()

5.一个数(0除外)和它的`倒数成反比。……………………………………………()

三、选择题。

1.图上1厘米表示实际50米，这幅图的比例尺是()。

A.1:50B.1:500C.1:5000D.1:50000

2.下列式子中，是方程的是()。

A.4x=8B.3x+7C.4×=D.2x+1>5

3.x+x=42解是()。

A.x=42B.x=36C.x=24D.x=18

4.已知一个比例的两个外项的积是30，两个内项不可能是()。

A.30和1B.15和15C.1.5和20D.和40

5.工作时间一定，完成每个零件所用的时间与零件总数()。

A.成正比例B.成反比例C.不成比例D.不一定成比例

四、计算题。

1.求比值。

(1)0.25∶1.25(2)16∶1.6(3)1.75小时∶90分

2.化简比。

(1)450∶135(2)0.63∶1.25(3)

3.解方程。

(1)42-3x=27(2)2x+3x=14.5

(3)x-x=(4)=30%

4.解比例。

(1)x∶3.5=3∶5(2)

(3)(4)

五、列方程解下列文字题。

1.一个数的等于24个的和，这个数是多少?

2.一个数的与它的的和是39，这个数是多少?

3.一个数的2倍减去4.8与5的积，差是30，这个数是多少?

4.一个数的等于60的75%，这个数是多少?

六、应用题。

1.在一张地图上量得句容到茅山的距离是3.5厘米，已知句容到茅山的实际距离是21千米，求这幅地图的比例尺。

2.一辆货车和一辆客车同时从相距135千米的两地相向而行，经过1.5小时相遇，已知货车和客车速度的比是7∶8，客车每小时行多少千米?

3.水果店运来两筐水果，平均每筐重30千克，已知甲筐和乙筐重量的比是2∶3，甲、乙两筐水果各重多少千克?

4.一批零件按5∶3分配甲、乙两人加工，已知乙分到的零件比甲少18个，这批零件一共有多少个?

15.“集合思想”在代数中的应用 篇十五

一、用集合思想分析充要条件

集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域，也就自然地成为探索各种充要条件的基础。对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题，若能用好集合概念，则能简化思维过程，提高思维效率。

1. 子集、真子集及相等集合关系中所蕴含的充要条件问题。

首先，从子集关系理解充分条件与必要条件。对于集合A, B，若AB，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件，同时称“x∈B”是“x∈A”的必要条件。

其次，将充要条件问题用集合表现出来，是指：

(1)当A=B时，“x∈a”是“x∈B”的充分且必要条件。

(2)当AB (A是B的真子集)时“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;同时，“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件。

(3)若上述条件都不成立，则“x∈B”是“x∈A”的既不充分又不必要条件。

2. 用集合关系表述命题条件。

将充要条件问题以集合关系表现出来，是用集合关系探究数学知识中各种充要条件问题的基础.对于条件p与结论q，若“p真”等价于集合真}，“q真”等价于集合B={X|q (X)真}，则条件p与结论q的关系可通过集合之间的集合关系来表述：

(1)当A=B时，条件p是结论q的充分且必要条件;

(2)当A奂B时，条件p是结论q的充分但不必要条件;

(3)当AB时，条件p是结论q的必要但不充分条件;

(4)若在上述情况之外，则条件p是结论q的既不充分又不必要条件。

二、用集合思想分析复合命题的构成

若记A={X|X满足性质p}，B={X|X满足性质q}，则可以得到如下结论：

(1)命题“p或q”即：“X∈A或X∈B”，即X∈A∪B;

(2)命题“p且q”即：“X∈A且X∈B”，即X∈A∩B;

(3)命题“非p”即：“X∈A”，即X∈CuA。

例1.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”形式的复合命题，并判断其真假：

p:X=1是方程x2-1=0的解;q:X=-1是方程x2-1=0的解。

解p或q：“X=1是方程x2-1=0的解或X=-1是方程x2-1=0的解”，也可写成：“X=1或-1是方程x3-1=0的解”。因为p:X=1是方程x2-1=0的解，用集合分析，即﹛1﹜是真命题，q:X=-1是方程x2-1=0的解，用集合分析，即是真命题;p或q：“X=1或-1是方程x2-1=0的解”，用集合分析即是真命题，符合真值表，所以可以这样改写。

三、用集合思想分析方程组的同解

用消元法解方程组的过程是同解变形的过程，但学生往往对这种思想方法并不能很好地理解。然而学习了集合知识之后，则很容易理解了。

例2.解二元二次方程组

若用集合来分析，做法如下：

学生对以上的分析更能理解。

四、用集合思想分析加法原理与乘法原理

在学习加法原理与乘法原理时，如果让学生机械地记忆于完成一件事有n类不同的方法就用加法原理，完成一件事有n步就用乘法原理，是不妥的，用集合来分析理解：所谓n类不同的方法，实际上就是n个两两不相交的集合，求方法的总数就是求这个并集的基数，故用加法原理;有n步，说明缺一步不可，同时出现，实际上表示的n个集合的交集，求方法总数当然就用乘法原理了。

五、用集合思想分析排列与组合问题题

排列组合综合题求解时切忌重复和遗漏，引用集合来讲，则不存在这个问题。

例3.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一排，甲不站在左端，乙不站在右端，共有多少种排法?

解：设A={甲站在左端的排列}，B={乙站在右端的排列}，则A∩B={甲站在左端，同时乙站在右端的排列}，不含条件的排列数是无附加条件的排列数是，故合条件的排列数是

另外，用集合思想还可以辨析分步计数中的重复错误。采用分步计数最容易出现的错误就是“重复”与“遗漏”，其中以重复最为隐蔽，难以觉察。这是因为，分步方案不产生计数遗漏，需要的是所有满足要求的情形都能够通过它得以实现，这一般较容易办到。

六、用集合思想分析互斥事件和对立事件

互斥事件与对立事件是概率论中的重要概念。单凭举例，学生不容易掌握，如果用集合思想去分析，将是很清楚的，设几个事件分别用集合A1, A2…An表示;如果这几个事件构成一个完备事件组，即一切可能事件都在内了，可以用全集I=A1∪A2∪…∪An表示。对于其中某二事件例如Ai, Aj，若有Aj∩Aj=φ，则Ai, Aj叫互斥，否则不叫互斥。对于I=A1UA2U…∪An，其中任一事件(或组)和剩下的事件(组)构成对立事件，当然，首先要互斥。

七、用集合思想理解数学归纳法

皮亚诺公理：1.1是一个正整数。2.每个正整数a都有一个后继数(实际即a+1)仍是正整数。3.1不是任何正整数的后继数。4.若a与b的后继数相等，则a与b相等。5.设S是正整数集合N*的子集，若：(1) 1属于S; (2)当k属于S时，k的后继数(实际即k+1)一定有也属于S，则S=N*。

这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征。上述公理5也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的一种方法，是数学归纳法的理论基础。所以说，用集合思想理解数学归纳法是很自然的，因为归纳公理是运用集合推出的。

总之，用集合思想解代数中的有关问题是一种很重要的数学思想方法。在代数教学中，教师要适时引导学生加以应用，以提高学生的解题思维能力。

参考文献

[1]熊惠民.用集合论观点辨析分步计数中的重复错误.中学数学教学参考, 2009, 1-2.

[2]陈凌, 宗平芬.集合关系与充要条件.高中数学教与学, 2008, 10.