欧姆定律单元测试题

欧姆定律单元测试题（精选7篇）

1.欧姆定律单元测试题篇一

欧姆定律测试题：

1.在研究电流跟电压、电阻的关系的实验中，得出表格中的一组数据。根据这组数据，可以得到的结论是

导体两端电压(V) 导体电阻(Ω) 通过导体的电流(A)

4 2 2

4 4 1

4 8 0.5

A.导体电阻一定时，导体两端的电压跟通过导体的电流成正比

B.导体电阻一定时，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比

C.导体两端电压一定时，导体的电阻和通过导体的电流成反比

D.导体两端电压一定时，通过导体的电流和导体的电阻成反比

答案：D

2.一段导体两端加3V电压时，电流为0.6A，如果两端电压再增加1.5V时，通过导体的电流和导体的电阻各是___________，___________。

答案：0.9A5Ω

3.当电路发生短路时，电路中的_________很大，会使导线的温度升高，严重时能造成_________。

答案：电流火灾

4.将图7-1-1中的实物连成实物图。要求：L1与L2并联，电流表测电路中总电流，电压表只测灯L2两端电压，滑动变阻器只用于改变灯L2的亮度，并且滑片左移时灯L2变亮。

图7-1-1

解析：滑动变阻器只用于改变灯L2的亮度，所以应与灯L2串联。本题中要求滑片向左移动，灯L2变亮，即向左移动要使电阻减小，则接AC或AD都符合要求。

答案：如图所示

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.小华学完电流、电压、电阻的有关知识后，在笔记本上记录了班上同学们关于电流、电压和电阻的一些说法，你认为正确的是()

A.有电流通过的电阻两端，一定有电压存在B.没有电流通过的导体，没有电阻

C.导体两端电压为零时，电阻也为零D.电路两端有电压时，电路中一定有电流

答案：A

2.小明同学连接了图7-1-2所示的实验电路。实验时，他注意比较了电路在开关闭合前、后的现象。下列符合观察事实的是()

图7-1-2

A.开关闭合前、后，灯泡均能发光B.开关闭合后，电压表的读数变小

C.开关闭合后，电流表的读数变小D.开关闭合前、后，电压表读数均为电源电压

答案：B

3.关于公式R=U/I，以下说法中正确的是()

A.加在导体两端的电压越大，导体的电阻就越大

B.通过导体的电流越大，导体电阻越小

C.导体的电阻数值上等于导体两端的电压与通过该导体的电流之比

D.导体的电阻与导体两端的电压成正比，与通过导体的电流成反比

答案：C

4.如图7-1-3所示为某同学测定小灯泡电阻的实物连接图。在电压表尚未接入电路之前，已存在两处明显的连接错误，请你指出：

图7-1-3

(1)__________________________________________;

(2)__________________________________________。

(3)假定错误已纠正且原电流方向不变，请在图中用笔画线表示导线，将电压表接入电路。

答案：(1)滑动变阻器接入方法错误(2)电流表正、负接线柱接反了(3)如图所示

5.在“探究电阻上的电流与电压的关系”的实验中，同学们设计了以下几种不同的方案：

方案1：拿一个已知阻值的电阻R，利用图7-1-4甲所示的电路图，用电流表测出电阻R上的电流，电压表测出R两端的电压，进行一次探究，找出三者的关系。

方案2：设计的电路图如图7-1-4甲，也用一个定值电阻R，通过改变串联电池节数来改变电阻R两端的电压，进行多次测量，探究三者的关系。

方案3：利用图7-1-4乙所示的电路进行探究，首先用滑动变阻器改变定值电阻R两端的电压，测出每次通过R的电流，然后更换不同阻值，移动P使电压表示数保持不变，测出每次通过不同阻值R的电流，探究三者的关系。

图7-1-4

根据你平时的实验经验，结合已学的研究问题的方法，你认为哪个方案最佳?_________，理由是_________________________________________________________。

解析：为了研究电流、电压、电阻之间的关系，我们需要分别测出这三个量：电阻我们采用阻值已知的定值电阻，电流、电压分别用电流表、电压表测得。但是，只测出一组电流、电压、电阻的数值，是无法确定它们的关系的，要多测几组数据，从中找出它们之间的关系。研究电流与电压的关系时，要保持电阻不变，改变电压;研究电流与电阻的关系时，要保持电压不变，改变电阻。

答案：方案3操作方便，过程严谨、科学

6.你一定见过或听说过稳压器，它的作用是什么?为什么要用它?

解析：随着人们生活水平的不断提高，用电量越来越大，许多地区电压不稳，在用电高峰时只能达到150V左右，而深夜会升到230V以上，都不符合用电器的额定电压，所以人们制作了一种稳压装置，使输出的电压基本上达到家用电器的额定电压，使之正常工作。

答案：输出稳定的电压，保护用电器，防止损坏。

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.如果在“探究电流跟电压的关系”中，按照图7-1-5的电路图连接了电路，各表的正负接线柱和量程均正确，结果会()

图7-1-5

A.电流表被烧坏B.电压表被烧坏

C.电流表示数为0D.电压表示数为0

答案：C

2.某导体两端的电压为6V时，通过的电流为0.1A，若将导体两端的电压再增加3V，通过导体的电流是_________A，则该导体的电阻为_________;若该导体两端的电压为0，则该导体的电阻为_________。

答案：0.1560Ω60Ω

3.(甘肃兰州模拟，22)如图7-1-6所示，电阻R1=R2=4Ω，电源电压保持不变。当S1、S2都闭合时，电流表的示数为0.75A，此时电路是_________联电路，电路的总电阻是_________Ω，当S1闭合、S2断开时，电路的总电阻是_________Ω，电流表的示数是_________A。

图7-1-6

解析：S1、S2都闭合时，两电阻并联，电流表测通过R1的电流。U1=U2=U=I1R1=0.75A×4Ω=3V，总电阻为2Ω,S1闭合、S2断开时，电路中只有R1接入电路，总电阻为4Ω,此时通过R1的电流I1=U/R1=3V/4Ω=0.75A。

答案：并240.75

4.将两个电阻R1、R2并联后，再与电池组和开关串联成回路，如图7-1-7所示。已知干路电流为I=2A，通过R1的电流为I1=1.2A，电池电压为U=24V，求R1和R2的阻值是多少?

图7-1-7

解析：并联电路中的各支路电压相等，U=U1=U2=24V，并联电路中，干路电流等于各支路电流之和，I=I1+I2。解：I2=I-I1=2A-1.2A=0.8A,由I=U/R得R=U/IR1=U1/I1=24V/1.2A=20Ω,R2=U2/I2=24V/0.8A=30Ω。

答案：R1=20ΩR2=30Ω

5.如图7-1-8所示，R1=12Ω，将它与R2串联后接到8V的电压上，已知R2两端的电压是2V，求R2的阻值。

图7-1-8

解析：根据串联电路的基本特点U=U1+U2可求出U1，然后根据U1/U2=R1/R2可求出R2。也可以根据I1=(U总-U2)/R1=I2来求R2，即U1=U总-U2=8V-2V=6V，I1=U1/R1=6V/12Ω=0.5A,又I1=I2得R2=U2/I2=2V/0.5A=4Ω。

答案：4Ω

6.某人做实验时把两盏电灯串联起来，灯丝电阻分别为R1=30Ω,R2=24Ω,电流表的读数为0.2A，那么加在R1和R2两端的电压各是多少?

答案：因为，所以U=IR

U1=IR1=0.2A×30Ω=6V

U2=IR2=0.2A×24Ω=4.8V

故R1和R2两端电压分别为6V、4.8V。

7.如图7-1-9所示电路，电压表V1的读数为8V，闭合开关后V2的读数为5V。若电阻R1的阻值为12Ω，求R2的阻值。

图7-1-9

答案：U1=U-U2=8V-5V=3V

通过R1的电流

I1= =0.25A

故R2的阻值为20Ω。

8.孙楠同学用如图7-1-10所示的电路研究导体中的电流跟导体电阻的关系，他先后将5Ω、15Ω和25Ω的定值电阻接入电路a、b两点间，闭合开关S，读出电流表示数(如下表)。由实验数据可以看出电流I与电阻R并不成反比。

电阻R/Ω 5 15 25

电流I/A 0.6 0.3 0.2

图7-1-10

(1)你能分析出发生错误的原因吗?

(2)如果仍用5Ω、15Ω和25Ω的三个定值电阻进行实验，你能否设计两种方法，验证在电压不变时，导体中的电流跟电阻的关系?画出电路图，并写出简要的实验步骤。

答案：(1)实验中没有保持a、b两点间的电压不变。

(2)方法一：如图甲所示，利用电源电压不变。步骤：①按电路图连接好实物图;②分别把5Ω、15Ω和25Ω电阻依次连入电路，闭合开关，读出每次电流表的示数，记录在设计的表格中。

方法二：利用图乙所示的电路，通过调节滑动变阻器的滑片，保持a、b两点间的电压不变。步骤：①按电路图连接好实物图;②分别把5Ω、15Ω和25Ω电阻依次连入电路a、b两点间，闭合开关，调节滑片使三次电压表示数相同，读出每次电流表的示数，记录在设计的表格中。

9.加在一个定值电阻两端电压从6V增加到7.5V时，通过它的电流增大了0.05A，求该电阻的大小。

解析：加在导体上的电压增加时，电流增大，但电压和电流的比值为一个定值，因此：R=U1/I1=U2/(I1+0.05A)，即6V/I1=7.5V/(I1+0.05A)得I1=0.2A，所以R=U1/I1=6V/0.2A=30Ω。

答案：30Ω

10.电路电压保持不变，当电路中的电阻增大3Ω时，电流减小到原来的4/5，求电路中原来的电阻是多大。

解析：根据改变电阻前后电路两端电压不变，则电阻改变前U=IR，电阻改变后U= (R+3Ω)即IR= (R+3Ω)得R=12Ω。

答案：12Ω

11.(2010福建福州模拟，28)请你利用如图7-1-11所示的器材测量小灯泡灯丝的电阻。

(1)把图7-1-11中的实物电路用笔画线代替导线连接完整;

图7-1-11

(2)请根据实物电路在虚线框内画出电路图;

(3)在闭合开关前，滑动变阻器连入电路的电阻阻值应最______，即滑片应位于_____端。

(4)闭合开关后，发现灯泡不亮，电压表有示数，电流表无示数，则电路中可能出现的故障是()

A.滑动变阻器开路B.电压表短路C.灯短路D.灯开路

(5)排除故障后，再次闭合开关，移动滑动变阻器的滑片，当电压表的示数为1.8V时，电流表的示数如图7-1-12所示，此时电流为_________A，灯丝的电阻是_________Ω。

图7-1-12

解析：要求出小灯泡的电阻，必须知道它两端的电压和通过它的电流，故电压表应与小灯泡并联，电流表应与小灯泡串联。闭合开关后，小灯泡不亮，电压表有示数，电流表无示数，可能是灯泡开路，造成电压表串联在电路中。

答案：(1)如图所示

(2)如图所示

(3)大A(左)，(4)D(5)0.36

12.(2010江苏泰州模拟，26)为了探究“电流与电压的关系”，小华设计了如图7-1-13所示的实验电路图。(1)实验选用的器材如图7-1-14所示，其中电源为两节新干电池，定值电阻为10Ω，滑动变阻器上标有“10Ω2A”的字样，则实验时电压表应选用的量程为_________V，电流表应选用的量程为_________A。

图7-1-13图7-1-14

(2)请根据电路图用笔画线代替导线，将图7-1-14中的元件连成电路。要求：滑动变阻器的滑片向左移动时，电流表的示数变大。

(3)下表是小华探究“电流与电压关系”时记录的几组实验数据，通过对表中数据的分析，可得到的初步结论是：______________________。

实验次数 1 2 3 4 5

电压(V) 1.0 1.5 2.0 2.5 2.8

电流(A) 0.10 0.15 0.20 0.25 0.28

解析：(1)电源用两节新干电池串联，电源电压为3V，故电压表的量程应选0―3V。电路中的最大电流约为 =3V/10Ω=0.3A，故电流表的量程应选0―0.6A。(2)根据电路图连实物图时，各元件的连接顺序应与电路图一一对应，电压表、电流表的量程选择正确，滑动变阻器的调节作用不能改变。

答案：(1)0―3(或3)0―0.6(或0.6)

(2)如图所示

(3)当电阻一定时，导体中的电流与导体两端的电压成正比

快乐时光

一个小偷来到一个居民区，他看到一个小孩子坐在房子门口，脖子上还挂着一串钥匙。于是他走上前说：“小弟弟，你爸爸在家吗?”小男孩说：“没有啊!”小偷又说：“我是查电表的，可以让我进去吗?”“当然可以。”小孩说。小孩帮小偷打开了门，小偷刚把脑袋伸进去，接着撒开腿就跑了。小孩追着他喊：“我爸爸真没在家，他们是我的大叔、二叔、三叔、四叔、五叔、六叔……

[欧姆定律测试题]

2.欧姆定律单元测试题篇二

一、考查分子动能、分子势能及物体的内能

例1 (2010年浙江卷)质量一定的某种物质在压强不变的条件下,由液态Ⅰ与气态Ⅲ(可看成理想气体)变化过程中温度(T)随加热时间(t)变化关系如图1所示,单位时间所吸收的热量可看作不变.

(1)以下说法正确的是()

(A)在区间Ⅱ,物质的内能不变

(B)在区间Ⅲ,分子间的势能不变

(C)从区间Ⅰ到区间Ⅲ,物质的熵增加

(D)在区间Ⅰ,物质分子的平均动能随着时间的增加而增大

(2)在区间Ⅲ,若将压强不变的条件改为体积不变,则温度升高______(变快、变慢或快慢不变),请说明理由.

解析:(1)在区间Ⅱ,温度不变,物质分子的平均动能不变,物质不断被加热,吸收的热量使分子势能增加,物质内能(包括分子动能和分子势能)增加,(A)错;在区间Ⅲ,气态可看成理想气体,分子间的势能不变,(B)正确;从区间Ⅰ到区间Ⅲ,物质不断被加热,物质分子运动无序度增加,即物质的熵增加,(C)正确;在区间Ⅰ,温度随时间增大,物质分子的平均动能随时间的增加而增大,(D)正确.选(B)、(C)、(D).

(2)根据热力学第一定律ΔU=Q+W和理想气体的状态方程可知,在吸收相同的热量Q时,压强不变的条件下,V增加,气体对外做功(W<0),ΔU1=Q-|W|;在体积不变的条件下,气体对外不做功(W=0),ΔU2=Q;所以ΔU1<ΔU2,体积不变的条件下温度升高变快.

点评:本题用图象描述物体的热学过程,考查学生对过程的理解,了解各物理量之间的相互制约关系,突出了科学探究的方法.本题第(2)问的解题关键:弄清“压强不变”与“体积不变”条件下,气体做功情况不同,导致内能(温度)变化不同.

二、考查热力学第一定律

例2 (2010全国卷Ⅱ,16)如图2所示,一绝热容器被隔板K隔开a、b两部分,已知a内有一定量的稀薄气体,b内为真空,抽开隔板K后,a内气体进入b,最终达到平衡状态,在此过程中()

(A)气体对外界做功,内能减少

(B)气体不做功,内能不变

(C)气体压强变小,温度降低

(D)气体压强变小,温度不变

解析:绝热容器内的稀薄气体与外界没有热传递,Q=0;抽开隔板K后,a内气体进入b,稀薄气体从a向真空b扩散,由于没有做功对象,故W=0;根据热力学第一定律,气体内能不变,则温度不变,稀薄气体扩散,体积增大,压强必然减小.(B)、(D)正确.

点评:本题考查热力学第一定律的应用及对气体的温度、压强和体积的判断.部分考生认为:稀薄气体a向真空扩散,体积增大,气体对外界做功,导致失误.

三、考查热力学第二定律

例3 (2006年广东物理,8)图3为电冰箱的工作原理示意图,压缩机工作时,强迫制冷剂在冰箱内外的管道中不断循环,在蒸发器中制冷剂汽化吸收箱体内的热量,经过冷凝器时制冷剂液化,放出热量到箱体外,下列说法正确的是()

(A)热量可以自发地从冰箱内传到冰箱外

(B)电冰箱的制冷系统能够不断地把冰箱内的热量传到外界,是因为其消耗了电能

(C)电冰箱的工作原理不违反热力学第一定律

(D)电冰箱的工作原理违反热力学第一定律

解析:由热力学第二定律可判断,(A)错误,(B)正确;热力学第一定律适用于所有热学过程,(C)正确,(D)错误.选(B)、(C).

点评:新课程要求学生了解自然科学最新成就及其对社会发展的影响,并能与已学知识结合起来解决问题,本题以“电冰箱”命题,要求考生通过阅读试题,进行分析推理,考查考生的探究能力.

四、与“分子动理论”综合命题

例4 (2010年江苏卷,12)(1)为了将空气装入气瓶内,现将一定质量的空气等温压缩,空气可视为理想气体,图4图象中能正确表示该过程中空气压强p和体积V关系的是()

(2)在将空气压缩装入气瓶的过程中,温度保持不变,外界做了24 kJ的功.现潜水员背着该气瓶缓慢地潜入海底,若在此过程中,瓶中空气的质量保持不变,且放出了5 kJ的热量,在上述两个过程中,空气的内能共减小______kJ,空气_____(选填“吸收”或“放出”)热量.

(3)已知潜水员在岸上和海底吸入空气的密度分别为1.3 kg/m3和2.1 kg/m3,空气的摩尔质量为0.029 kg/mol,阿伏伽德罗常数NA=6.02×1023 mol-1.若潜水员呼吸一次吸入2 L空气,试估算潜水员在海底比在岸上每呼吸一次多吸入空气的分子数,(结果保留一位有效数字)

解析:(1)理想气体等温压缩,据pV=C,p与成正比,选项(B)正确.

(2)根据热力学第一定律:W+Q=ΔU,第一阶段W1=24 kJ,ΔU1=0,所以,Q=-24 kJ,放热24 kj;第二阶段W2=0,放热Q2=-5 kJ,所以,ΔU2=-5 kJ;所以在上述两个过程中,空气内能ΔU=ΔU1+ΔU2=-5 kJ,即减少5 kj;热量Q=Q1+Q2=-29 kJ,即放出热量29 kJ.

(3)设空气的摩尔质量为M,在海底和岸上的密度分别为ρ海和ρ岸,一次吸入空气的体积为V,潜水员在海底比在岸上每呼吸一次多吸入空气的分子数:,代入数据得:Δn=3×1022个.

点评:本题联系实际命题,体现了从生活走向物理,从物理走向社会的新课程改革理念,考查考生运用气体p-图象、热力学第一定律、分子动理论等知识综合分析问题的能力.

五、与“气体状态变化”综合命题

例5 (2010年山东卷,36)一太阳能空气集热器,底面及侧面为隔热材料,顶面为透明玻璃板,如图5所示.集热器容积为V0,开始时内部封闭气体的压强为p,,,经过太阳曝晒,气体温度由T0=300 K升至T1,=350 K.

(1)求此时气体的压强;

(2)保持T1=350 K不变,缓慢抽出部分气体,使气体压强再变回到p0,求集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值.判断在抽气过程中剩余气体是吸热还是放热,并简述原因.

解析:(1)因为封闭气体的体积不变,故,解得:.

(2)设集热器内剩余气体质量为m、原来总质量为m0,根,则,得:.在抽气过程中剩余气体T不变,所以ΔU=0,根据W+Q=ΔU,因为体积膨胀,所以W为负,所以Q为正,吸热.

点评:本题考查考生运用热力学定律与气体定律综合分析实际问题的能力,近年高考热学许多试题都创设了与生产、生活和科技联系的问题情境,引导学生灵活应用热学知识去解决现实问题,体现了物理教育的时代性和实用性.

练习题:

1.(2010年福建卷,28)如图6所示,一定质量的理想气体密封在绝热(即与外界不发生热交换)容器中,容器内装有一可以活动的绝热活塞,今对活塞施以一竖直向下的压力F,使活塞缓慢向下移动一段距离后,气体的体积减小.若忽略活塞与容器壁间的摩擦力,则被密封的气体()

(A)温度升高,压强增大,内能减少

(B)温度降低,压强增大,内能减少

(C)温度升高,压强增大,内能增加

(D)温度降低,压强减小,内能增加

2.(2010年重庆卷)给旱区送水的消防车停于水平地面,在缓慢放水过程中,若车胎不漏气,胎内气体温度不变,不计分子间势能,则胎内气体()

(A)从外界吸热

(B)对外界做负功

(C)分子平均动能减小

(D)内能增加

3.(2010年广东卷,14)如图7所示是密闭的气缸,外力推动活塞P压缩气体,对缸内气体做功800 J,同时气体向外界放热200 J,缸内气体的()

(A)温度升高,内能增加600 J

(B)温度升高,内能减少200 J

(C)温度降低,内能增加600 J

(D)温度降低,内能减少200 J

4. 如图8所示,两个相通的容器P、Q间装有阀门K,P中充满气体,Q内为真空,整个系统与外界没有热交换.打开阀门K后,P中的气体进入Q中,最终达到平衡,则()

(A)气体体积膨胀,内能增加

(B)气体分子势能减少,内能增加

(C)气体分子势能增加,压强可能不变

(D)Q中气体不可能自发地全部退回到P内

5. 中国科学院院士叶笃正在大气环流等领域成就卓著,获得国家最高科学技术奖,他的许多理论成果对研究气象起到重要作用.大气气流的升降运动会造成不同高度的温度变化,致使气象万变,万米高空的气温往往在-50℃以下,在研究大气现象时可把温度、压强相同的一部分气体作为研究对象,叫做气团,气团直径可达几千米,边缘部分与外界的热交换对整个气团没有明显影响,可以忽略.用气团理论解释高空气温很低的原因,是地面的气团上升到高空的过程中()

(A)剧烈膨胀,同时大量对外放热,使周围温度降低

(B)剧烈收缩,同时从周围吸收大量热量,使周围温度降低

(C)剧烈膨胀,气团对外做功,内能大量减少导致温度降低

(D)剧烈收缩,外界对气团做功,故周围温度降低

6. A、B两装置均由一支一端封闭、一端开口且带有玻璃泡的管状容器和水银槽组成,除玻璃泡在管上的位置不同外,其他条件都相同,将两管抽成真空后,开口向下竖直插入水银槽中(插入过程没有空气进入管内),水银柱上升至图9所示位置停止.假设这一过程水银与外界没有热交换,则下列说法正确的是()

(A) A中水银的内能增量大于B中水银的内能增量

(B) B中水银的内能增量大于A中水银的内能增量

(C)A和B中水银体积保持不变,故内能增量相同

(D) A和B中水银温度始终相同,故内能增量相同

7. 关于热现象和热学规律,下列说法中哪些符合事实()

(A)布朗运动是布朗小颗粒内部分子运动所引起的悬浮小颗粒的运动

(B)用活塞压缩气缸里的空气,对空气做功2.0×105 J,若空气向外界放出热量1.5×105 J,则空气内能增加0.5×105 J

(C)第二类永动机不能制成是因为它违反了能量守恒定律

(D)—定质量的气体,如果保持温度不变,体积越小压强越大

8. 在核聚变装置内,实现两个氘核聚变反应,必须使它们之间距离接近到r0,也就是接近到核力能够发生作用的范围.物质温度很高时氘原子将变为等离子体,等离子的分子平均动能为,式中的k1叫玻耳兹曼常量,T为热力学温度,两个氘核之间的电势能为,k为静电力常量,r为电荷之间的距离,则氘核发生聚变的温度至少为______.

9. 如图10所示,带有可自由滑动活塞(与汽缸的摩擦可忽略不计)的汽缸中,封闭一定质量的理想气体,将一个半导体热敏电阻R置于汽缸中,热敏电阻与容器外的电源E和电流表组成闭合回路,汽缸和活塞具有良好的绝热性能,若发现电流表的读数增大时,则气体压强一定______(增大、减小或不变),气体内能一定______(增大、减小或不变),气体一定______(“吸热”、“放热”或“无热传递”).

3.专题三牛顿运动定律单元测试卷篇三

1. 下列关于力的说法，正确的是（）

A. 人走路时，只有地对脚的作用力大于脚蹬地的作用力，人才能前进

B. 以卵击石，石头无恙而鸡蛋碎了，是因为鸡蛋对石头的作用力小于石头对鸡蛋的作用力

C. 甲、乙两队拔河，甲队胜，并不能说甲对绳的拉力大于乙对绳的拉力

D. 运动员从地上跳起，是由于地面给运动员的作用力大于运动员给地面的作用力

2. 关于牛顿第一定律的下列说法，正确的是（）

A. 牛顿第一定律是实验定律

B. 牛顿第一定律说明力是改变物体运动状态的原因

C. 牛顿第一定律是牛顿第二定律在物体的加速度[a=0]条件下的特例

D. 物体的运动不需要力来维持

3. 用力[F]拉一物体使其以加速度[a]在水平面上做匀加速直线运动，力[F]的水平分量为[F1]，如图1. 若以与[F1]大小、方向都相同的力[F]代替力[F]拉此物体，使物体产生的加速度为[a]，则（）

A. 当该水平面光滑时，[a

B. 当该水平面光滑时，[a=a]

C. 当该水平面粗糙时，[a

D. 当该水平面粗糙时，[a>a]

4. 甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的[v-t]图象如图2，由图可知（）

A. 甲比乙早出发，所以乙追不上甲

B. 由于乙在[t=10s]时才开始运动，所以[t=10s]时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前最大

C. [t=20s]时，它们之间的距离为乙追上甲前最大

D. [t=30s]时，乙追上了甲

5. 如图3，物体[A]靠在竖直的墙面上，在竖直向上的力[F]的作用下，[A、B]物体均保持静止，则物体[B]的受力个数为（）

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

6. 有四个运动的物体[A、B、C、D]，物体[A、B]运动的[s-t]图象如图4甲；物体[C、D]从同一地点沿同一方向运动的[v-t]图象如图4乙. 根据图象做出的以下判断正确的是（）

A. 物体[A]和[B]均做匀加速直线运动且[A]的加速度比[B]大

B. 在0～3s的时间内，物体[B]运动的位移为10m

C. [t=3s]时，物体[C]追上物体[D]

D. [t=3s]时，物体[C]与物体[D]之间有最大间距22.5m

7. 小明同学为了探究电梯起动和制动时的加速度大小，他将体重计放在电梯中，然后站在体重计上，乘坐电梯从1层直接到10层，之后又从10层直接回到1层. 并用照相机进行了相关记录，如图所示. 他根据记录，进行了以下推断分析，其中正确的是（）

[50][40][50][50][40][50][40][50][40][ 9][ 10][ 2][ 1][ 1]

A. 根据图2和图3可估测出电梯向上起动时的加速度

B. 根据图1和图2可估测出电梯向上制动时的加速度

C. 根据图1和图5可估测出电梯向下制动时的加速度

D. 根据图4和图5可估测出电梯向下起动时的加速度

8. 如图5，质量为[M]的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为[m]的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零的瞬间，小球的加速度大小为（）

A. [g] B. [M-Nmg]

C. [0] D. [M+Nmg]

9. 如图6，水平放置的光滑硬杆[OA、OB]成[θ]角，在两杆上各套轻环[P、Q]，两环用轻绳相连，现用恒力[F]沿[OB]方向拉环[Q]，当两环稳定时，绳的张力大小是（）

A. [Fsinθ] B. [F/sinθ]

C. [Ftanθ] D. [F/sinθ2]

二、本题共4小题，每小题5分. 共20分. 把答案填在题中的横线上或按题目要求作答.

10. 利用滴水法可以粗略测量当地的重力加速度，其方法如图7：调整水龙头滴水的快[图7]慢达到一个稳定度之后，再仔细调节盛水盘子的高度，使得第一滴水落到盛水盘面的瞬间，第二滴水恰好从水龙头口开始下落. 以某一滴水落到盘子面的瞬间开始计数为1，数到第[n]滴水落到盘子面的瞬时停止计时，记下所用的时间为[t]，再测出从水龙头口到盘子面的竖直高度为[h]，那么由此测可算出当地的重力加速度值为 .

11. 某同学在做“测定匀变速直线运动的加速度”实验时打出的纸带如图8，每两个记数点之间还有四点没有画出来，图中上部数字为相邻两个记数点间的距离，打点计时器的电源频率为50Hz.（答案保留三位有效数字）.

（1）图8中记数点“4”对应的纸带速度[v4=] m/s.

（2）纸带的加速度为[a=] m/s2.

12. 小华用如图9的装置做“探究加速度与力的关系”的实验：小车搁置在水平放置的长木板上，纸带连接车尾并穿过打点计时器，用来测定小车的加速度[a]，小桶通过细线对小车施加拉力[F]. 在保持小车质量不变的情况下，改变对小车拉力[F]的大小，测得小车所受拉力[F]和加速度[a]的数据如下表：

（2）由图象可知，小车与长木板之间的最大静摩擦力大小为 N. （结果保留2位有效数字）

（3）若要使作出的[a-F]图线过坐标原点，需要调整实验装置，可采取以下措施中的（）

A. 增加小车的质量

B. 减小小车的质量

C. 适当垫高长木板的右端

D. 适当增加小桶内砝码质量

13. 如图10，是某同学在做“探究加速度与力、质量的关系”的实验中得到的一条纸带，纸带上标注了几个计数点[O、A、B、C、D、E、F]，并且相邻两个计数点之间还有4个点没有画出，纸带旁还给出了最小刻度为1mm的刻度尺，已知打点计时器所用交流电频率为50Hz，即打点周期为0.02s.

（1）请根据图中信息，写出计数点[A]对应刻度尺上的读数 cm；

（2）由纸带可以计算出小车的加速度是 m/s2 （结果保留三位有效数字）；

（3）该同学在研究小车的加速度[a]和小车质量[M]的关系时，始终满足[M?m]（[m]为砂桶及砂的质量），且所有操作均正确，结果得到的图象应该是下图中的（）

（4）该同学在实验完成后得到了如图11的图象，请分析是什么原因：

三、本题共小题，满分44分. 解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤. 只写出最后答案的不能得分. 有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位.

14. （8分）[A、B]两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当[B]车在[A]车前84m处时，[B]车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动，经过一段时间后，[B]车加速度突然变为零，[A]车一直以20m/s的速度做匀速运动，经过12s后两车相遇，问[B]车加速行驶的时间是多少？

15. （8分）在水平雪地上，质量为[M=35kg]的小红，坐在质量为[m=5kg]的雪橇上，小莉用与水平方向成370斜向上的拉力拉雪橇，拉力大小为[F=100N]，雪橇与地面间的动摩擦因数为[μ=0.2]，（sin37°=0.6，cos37°=0.8，[g]=10m/s2）求：

（1）雪橇对地面的压力大小；

（2）雪橇运动的加速度大小；

（3）从静止开始前进150m所需要的时间.

16. （8分）如图12，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止光滑斜面上，设小球质量[m=3kg]，斜面倾角[θ=30°]，悬线与竖直方向夹角[α=30°]，光滑斜面[M=50kg]置于动摩擦因数[μ=0.8]的粗糙水平面上始终不动，求：（[g]=10m/s2）

（1）悬线对小球拉力的大小；

（2）小球对斜面的压力多大；

（3）地面对斜面的摩擦力的大小和方向.

17. （10分）如图13，在倾角[θ=37°]的足够长的固定斜面底端有一质量[m=]1.0kg的物体. 物体与斜面间动摩擦因数[μ=0.25]，现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动. 拉力[F=]10N，方向平行斜面向上. 经时间[t=]4s绳子突然断了，已知sin37°=0.60， cos37°=0.80，[g]=10m/s2，求：

（1）绳断时物体的速度大小；

（2）从绳子断了开始到物体再返回到斜面底端的运动时间.

18. （10分）如图14甲，水平传送带顺时针方向匀速运动. 从传送带左端[P]先后由静止轻轻放上三个物体[A、B、C]，物体[A]经[tA=9.5s]到达传送带另一端[Q]，物体[B]经[tB=10s]到达传送带另一端[Q]，若以释放物体时刻作为[t]=0时刻，分别作出三物体从传送带左端[P]运动到右端[Q]的速度图象如图14乙、丙、丁，求：

（1）传送带的速度[v0]和传送带的长度[l]分别是多少；

4.四年级运算定律测试题篇四

76＋18＝18＋76（） 56＋72＋28＝56＋（72＋28）（）

41＋65＋39＋145＝（41＋39）＋（65＋145）（）

二、填一填

1、55＋＝75＋ 74＋148＋26＝148＋（＋）

2、55＋145＋53＋147＝（55＋）＋（53＋）

三、计算下面各题，并用加法交换律验算。

56＋89＝ 307＋348＝ 425＋480＝

四、填表格

＋ 56 85 148 236

148

236

五、计算下面各题，怎样简便就怎样计算。

5.欧姆定律单元测试题篇五

【本讲教育信息】

一.教学内容：

动量、动量守恒定律单元检测

【模拟试题】

一.选择题。

1.用绳拴住弹簧的两端，使弹簧处于压缩状态，弹簧两边分别接触两个质量不同物体。将绳烧断，弹簧将突然伸长，在将两物体弹开的瞬间，这两个物体大小相等的物理量是（）A.速度

B.动量 C.动能

D.加速度

2.质量为m的小球以速度v与竖直墙壁垂直相碰后以原速率反向弹回，以小球碰前的速度为正方向，关于小球的动能变化和动量变化，下面的答案正确的是（）

A.0，0 C.0，2mvB.mv2，0 D.0，2mv

3.试分析下列情况中，哪些系统的动量守恒（）

A.在不计水的阻力时，一小船船头上的人，水平跃入水中，由人和小船组成的系统。B.在光滑水平面上运动的小车，一人迎着小车跳上车面，由人和小车组成的系统。C.在光滑水平面上放有A，B两木块，其间有轻质弹簧，两手分别挤压A，B木块，突然放开右手，由两木块A，B和弹簧组成的系统。

D.子弹打入放在光滑水平面上的木块，子弹和木块组成的系统

4.一木块静止在光滑水平面上，一粒子弹水平射入木块，在这个过程中（）A.子弹动量变化的大小与木块动量变化的大小相等。B.子弹的动能损失与木块的动能增加相等。

C.子弹与木块之间的相互作用力，对子弹与对木块的冲量大小相等。D.子弹与木块之间的相互作用力，对子弹做的功与对木块做的功相等。5.小球质量为2m，以速度v沿水平方向撞击竖直墙壁，以4v的速率反弹回 5来，球与墙的撞击时间为t，则在撞击过程中，球对墙的平均作用力的大小是（）A.2mv/5t C.18mv/5tB.8mv2/5t D.18mg2/5t

6.质量均为M的两小车A和B，停在光滑的水平地面上，一质量为m的人从A车以水平速度v跳上B车，以v的方向为正方向，则跳后A，B两车的速度分别为（）

mvmv，MMmmvmv， C.MMm A.

mvmv，MMmmvmvD.，

MMmB.用心

爱心

专心二.填空题。

7.小球A的质量为m，速度为v，与在同一水平直线上运动的小球B相撞，球A以2v的速率反弹回去，则球A的动量增量是___________________，球B碰撞中的动量增量是________________。（以v为正方向）

8.小球做自由落体运动，第一秒末动量为p1，第二秒末动量为p2，则p1∶p2＝________。第一秒内动量变化为△p1，第二秒内动量变化为△p2，则△p1∶△p2＝_________。

9.质量为2 kg的物体做直线运动，其速度—时间图象如图1所示。由图可知物体在20s末的动量是___________；20 s内物体受到的合外力的冲量的大小是_____________，方向_____________。

三.计算题。

10.质量为10 g的子弹，以300 m/s的速度射入质量是24 g静止在水平桌面上的木块，并留在木块中。子弹留在木块中以后，木块运动的速度是多大？如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的速度为100 m/s，这时木块的速度又是多大？

11.两个磁性很强的磁铁，分别固定在A，B两辆小车上，A车的总质量为4.0 kg，B车的总质量为2.0 kg。A，B两辆小车放在光滑的水平面上，它们相向运动，A车的速度是5.0 m/s，方向水平向右；B车的速度为3.0 m/s，方向水平向左。由于两车上同性磁极的相互排斥，某时刻B车向右以8.0 m/s的水平速度运动，求此时A车的速度。

12.如图2所示，冰车和小孩的总质量为40 kg，木箱的质量为10 kg，它们静止在水平冰面上。某时刻，小孩将木箱以v＝4 m/s的水平速度推出。（不计冰车、木箱与冰面之间的摩擦）求：

（1）木箱推出后冰车与小孩的速度。

（2）小孩推木箱过程中对木箱做的功。

（3）冰车、小孩和木箱系统的机械能增加量。

四.选做题。

13.质量为5 kg的小车在光滑的水平面上以2 m/s的速度匀速前进。一个质量为0.5 kg

用心

爱心

专心的石块从2.5 m高处自由落下，恰好落入小车上的沙中。求石块落入沙中后小车的速度大小。14.一个质量为M的人站在地面上全力将质量为m的球水平抛出，球出手的速度为v。若此人穿着冰鞋站在光滑水平冰面上，同样全力将球水平抛出，求球出手的速度大小。

15.小平板车静止在光滑的水平面上，其质量为M。一质量为m的小物块以水平初速v0沿小车表面向右滑去，如图3所示。由于小物块与平板车表面间存在着摩擦，使小物块最终相对于平板车静止。求：

（1）最终小平板车的速度是多大？

（2）小物块的动能损失是多少？

（3）小平板车获得的动能是多少？

16.在水平光滑的冰面上，一小孩坐在静止的冰车中，小孩和冰车的总质量M＝30 kg。冰车上放有6枚质量均为m＝0.25 kg的雪球，小孩先后将雪球沿同一方向水平掷出，出手时雪球相对地面的速度均为4.0 m/s。求6枚雪球掷完后，冰车和小孩速度的大小。

用心

爱心

专心

试题答案

一.选择题。1.B 2.C 二.填空题。7.3mv，3mv 8.1∶2，1∶1 9.10kg·m/s，40N·s，与初速度方向相反三.计算题。

10.88.23m/s，83.3m/s 11.0.5m/s，向左 12.（1）1m/s；（2）80J；（3）100J 四.选做题。13.1.8m/s 14.3.ABD

4.AC

5.C

6.A Mv

Mm2MmM2mv0mv0Mm2v20 15.（1）；（2）；（3）22Mm2Mm2Mm 16.0.21m/s

用心

爱心

6.欧姆定律单元测试题篇六

试题

一、单项选择题（共25题，每题2分，每题的备选项中，只有 1 个事最符合题意）

1、避雷针和避雷带宜优先采用圆钢，圆钢直径不应小于__。A．8mm B．10mm C．12mm D．16mm

2、为保护离避雷针5m远的高为20m的设备，独立避雷针的接地电阻应小于__Ω。

A．(A)15 B．(B)8 C．(C)20 D．(D)5

3、__的表示符号为MOA.。A．金属氧化物 B．电阻 C．电气设备 D．天然气

4、电缆夹层的净高，不得小于__。A．4000mm B．3000mm C．2000mm D．1000mm

5、在供配电系统中安全距离分为__安全距离、变配电设备安全距离和检修安全距离。A．设备 B．电气 C．线路 D．测量

6、短时间谐波是指冲击持续时间不超过__，且两次冲击之间的间隔不少于__的电流所含有的谐波及其引起的谐波电压。A．2s,30s B．2s,2s C．30s,2s D．30s,30s

7、在如下关系信号和信息的说法中，正确的是： A．信息含于信号之中 B．信号含于信息之中 C．信息是一种特殊的信号

D．同一信息只能承载在一种信号之中

8、无功补偿中，放电器与电容器组的联接方式应为__。A．放电器与电容器组串联 B．放电器与电容器组并联

C．放电器、限流电阻、电容器三者串联 D．放电器、限流电阻、电容器三者混联9、10、由建筑物外引入的配电线路，应在室内靠近进线点处装设__。A．保护电器 B．隔离电器 C．计量仪器 D．熔断器

11、无功补偿的投切方式，在__情况下，宜采用手动投切的无功补偿装置。A．避免过补偿

B．避免在轻载时电压过高，造成某些用电设备损坏

C．只有装设无功自动补偿装置才能满足在各种运行负荷的情况下的电压偏差允许值

D．经常投入运行的变压器或配、变电所内投切次数较少的高压电动机及电容器组

12、一类防雷建筑物防直击雷的避雷带网格尺寸不应大于__。A．10m×10m B．5m×5m C．3m×3m D．2m×2m

13、计算成组用电设备的设备功率，__备用设备。A．应包括 B．不应包括 C．考虑一半 D．考虑二倍

14、当IT系统不引出N线，线路标称电压为220V/380V，配电线路发生第二次异相接地故障时保护电器应在（）s内切断故障回路，并符合（）式的要求。[式中，Zs是包括相线和PE线在内的故障回路阻抗（Ω）；Ia为保护电器切断故障回路的动作电流（A）；Uo为相线对地标称电压（V）]。A.A B.B C.C D.D

15、下列导体不可以做自然接地极的是__。A．非钢筋混凝土中的钢筋

B．征得供水部门同意的金属水管系统 C．供暖系统的金属管道

D．征得电缆部门同意的铅质包皮和其他金属外皮电缆

16、标称电压超过交流25V(均方根值)容易被触及的裸带电体必须设置遮护物或外罩．其防护等级不应低于《外壳防护等级分类》(GB4208—84)的__。A．IP1X级 B．IPX1级 C．IP2X级 D．IPX2级

17、架空线路十字塔保护接地的接地电阻不宜大于__Ω。A．4 B．5 C．10 D．30

18、如上题所述，该发电机的额定转速是__r/min。A．(A)75 B．(B)166.7 C．(C)150 D．(D)125

19、二级负荷用户在负荷较小或地区供电条件困难时，可由一路6kY及以上__供电。

A．架空线路 B．电缆线路

C．专用的架空线路 D．专用的电缆线路

20、在TN-C系统中，下列关于保护(PE)线和中性(N)线说明正确的是__。A．整个系统中PE线和N线是分开的 B．整个系统中PE线和N线部分分开 C．整个系统中PE线和N线是合一的 D．PE线和N线中可接入开关设备

21、照明能量指标(W/m2)与多种因素有关，但__不属于此范围。A．光源的光效 B．灯具的效率

C．供电线路导线损耗 D．镇流器损耗

22、一台隐极同步发电机并于无穷大电网，额定数据为：UN=11kV，PN=3MW，同步电抗Xc=12Ω，不计定子电阻，Y接法。当发电机额定运行，并且每相空载电动势E0=8kV时，发电机的功角θ等于__。A．(A)13.6° B．(B)7.84° C．(C)15.4° D．(D)16.3°

23、(5)d2点的短路容量S”为__。A．58.2MV·A B．45.29MV·A C．34.48MV·A D．67.2MV·A 24、1.6．注册执业人员未执行法律、法规和工程建设强制性标准的，责令停止执业__。

A．1个月以上半年以下 B．2个月以上半年以下 C．3个月以上1年以下 D．半年以上2年以下

25、具有1区爆炸危险环境的建筑物，因火花而引起爆炸，会造成巨大破坏和人身伤亡者按防雷要求属于__类。A．一 B．二 C．三 D．四

二、多项选择题（共25 题，每题2分，每题的备选项中，有 2 个或 2 个以上符合题意，至少有1 个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项得 0.5 分）

1、(3)d点的稳态短路电流有效值Ik(或I∞)为__。A．7.63kA B．9.63kA C．10.63kA D．8.63kA

2、用电单位的供电电压等级应根据__、电气设备的特性、供电距离、供电线路回路数、当地公共电网现状及其发展规划，经技术经济比较确定。A．用电单位的位置 B．用电单位的类型 C．用电单位的用电量

D．用电单位的电气设备类型

3、不带可燃油的高、低压配电装置和非油浸的电力变压器，可设置在__房间内。A．不同 B．同一 C．分开 D．单独

4、__属于泄压设施。A．轻质屋盖 B．轻质墙体 C．防火窗 D．防火门 E．防火卷帘

5、低温环境下不宜用的电缆是__。A．油浸纸绝缘 B．交联聚乙烯绝缘 C．耐寒橡胶电缆 D．聚氯乙烯绝缘

6、受拉杆如图，其中在BC段内（）。A．有位移，无变形 B．有变形，无位移 C．既有位移，又有变形 D．既无位移，也无变形

7、在任何情况下，非供电电缆或电缆外护物组成部分的每根保护线无机械保护时其截面面积不应小于__mm2。A．1 B．2.5 C．4 D．6

8、中断供电将造成重大设备损坏，重大产品报废，国民经济中重点企业的连续生产过程被打乱需要长时间才能恢复的负荷，应为__。A．三级负荷

B．一级负荷中特别重要负荷 C．二级负荷 D．一级负荷

9、负荷小而分散的农村低压电网宜采用__系统。A．TN-S B．TN-C C．TN-C-S D．TT

10、（）应装设直击雷保护装置。

A.屋外配电装置，包括组合导线和母线廊道

B.火力发电厂的烟囱、冷却塔和输煤系统的高建筑物

C.油处理室、燃油泵房、露天油罐及其架空管道、装卸油台、易燃材料仓库等 D.乙炔发生站、制氢站、露天氢气罐、氢气罐储存室、天然气调压站、天然气架空管道及其露天贮罐 E.多雷区的列车电站

11、当额定电流630A以上时，推荐采用__。A．密集绝缘型母线槽 B．空气密集绝缘型母线槽 C．插接式母线槽 D．滑接式母线槽

12、长期工作或停留的房间场所，照明光源的显色指数Ra不宜小于__。A．50 B．60 C．70 D．80

13、三相照明线路各相负荷的分配宜保持平衡，在每个照明配电箱内最大与最小相的负荷电流不宜超过__。A．15% B．20% C．30% D．35%

14、__起动方式不适合作为笼型转子异步电动机起动方式。A．全压 B．电抗器减压 C．转子串电阻 D．Y-△降压

15、应急照明__采用能瞬时可靠点燃的白炽灯、荧光灯等，当应急照明作为正常照明的一部分，经常点燃且不需要切换电源时，可采用其它光源。A．宜 B．不应 C．应 D．不宜 16、10(6)kV变电所高压配电装置的柜顶为裸母线分段时，两段母线分段处宜装设绝缘隔板，其高度不应小于__。A．2m B．1.2m C．0.8m D．0.3m

17、__以上高温场所，应按经受高温及其持续时间和绝缘类型要求，选用耐热聚氯乙烯、普通交联聚乙烯、辐照式交联聚乙烯或乙丙橡皮绝缘等适合的耐热型电缆。A．50℃ B．60℃ C．70℃ D．90℃

18、在负荷计算中，单相负荷应均衡分配到三相上，当单相负荷的总容量小于计算范围内三相对称负荷总容量的__时，全部按三相对称负荷计算。A．15% B．20% C．25% D．30% 19、10(6)kV配变电所专用电源线的进线开关宜采用__。A．断路器

B．带熔断器的负荷开关 C．隔离开关 D．接触器

20、如果两个偏振片堆叠在一起，且偏振化方向之间夹角为30°。假设二者对光无吸收，光强为I0的自然光垂直入射在偏振片上，则出射光强为：().A.A B.B C.C D.D

21、应急照明包括：疏散照明、安全照明和__。A．事故照明 B．障碍照明 C．保安照明 D．备用照明

22、公共建筑及住宅建筑的配线方式中，在不采用综合布线的情况下，通常采用__。

A．单独式、复接式 B．递减式、增加式 C．交接式和合用式

D．单独式、复接式、递减式、交接式和合用式

23、试题3-20图为正弦波振荡电路，电路类型和石英晶体的电抗性质分别为（）。A．电感三点式，电容 B．电感三点式，电感 C．电容三点式，电阻 D．电容三点式，电感

24、照明系统中插座宜由单独的回路配电，每一回路插座数量不宜超过__(住宅除外)。

A．10个(组)B．15个(组)C．5个(组)D．20个(组)

7.欧姆定律单元测试题篇七

一、选择题

1.到空间不共面的四点距离相等的平面有 ( ) .

(A) 1个 (B) 4个

2.若的各二项式系数的和是64, 则n= () .

(A) 2 (B) 4

3.某学校开设“蓝天工程博览课程”, 组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆, 每个年级任选一个博物馆参观, 则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 () .

4.某班举行联欢会由5个节目组成, 演出顺序有如下要求:节目甲必须和节目乙相邻, 且节目甲不能排在第一个和最后一个, 则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 () .

(A) 6种 (B) 12种

5.若的展开式中含有常数项, 则n的最小取值是 () .

(A) 4 (B) 5

6.用红、黄、蓝三种颜色对如图1所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色, 且涂成红色的方格数为, 则不同的涂色方案有 () .

(A) 6种 (B) 14种

7.现有6人要排成一排照相, 其中甲与乙两人不相邻, 且甲不站在两端, 则不同的排法有 () .

(A) 12种 (B) 16种

8.执行如图2所示的程序框图, 输出的结果为a, 若的展开式中x3的系数为a/2, 则常数m= () .

9.现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张, 要求这3张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多有1张, 则不同的取法有 () .

(A) 472种 (B) 288种

10.两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛, 每两名参赛选手之间都比赛一次, 胜者得1分, 和棋各得0.5分, 输者得0分, 即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分, 且每名高二年级的学生都得相同分数, 则高二年级的学生参加比赛的有 ( ) .

(A) 7名 (B) 14名

11.设的展开式中系数最小的项是 () .

(A) -192 (B) -160

(A) 0 (B) 126

13.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场, 积4分, 在这4场比赛中, 甲球队胜、平、负 (包括顺序) 的情况共有 () .

(A) 7种 (B) 13种

14. (x2+1) (x- (2/x) ) 6的展开式中的常数项是 ( ) .

(A) 160 (B) -160

15.五个人坐成一排, 甲要和乙坐在一起, 乙不和丙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .

(A) 12 (B) 24

16.的展开式中的常数项为 ( ) .

(A) -8 (B) -12

17.将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读, 则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为 ( ) .

(A) 150 (B) 180

18.4 对姐妹站成一圈, 要求每对姐妹相邻, 不同站法有 ( ) .

(A) 240种 (B) 120种

二、填空题

20.用数字“1, 2”组成一个四位数, 则数字“1, 2”都出现的四位数有______个.

21.某门选修课共有9名学生参加, 其中男生3人, 教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论.若要求每个小组中既有男生也有女生, 则符合要求的分组方案共有_____种.

三、解答题

23.设F (n) =a1-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+ (-1) nan+1Cnn (n≥2, n∈N*) .

(1) 若数列{an}的各项均为1, 求证:F (n) =0;

(2) 若对任意大于等于2的正整数n, 都有F (n) =0恒成立, 试证明数列{an}是等差数列.

十五、统计、概率、统计案例

一、选择题

1.已知回归直线的斜率的估计值为1.23, 样本点的中心为 (4, 5) , 则回归直线方程为 ( ) .

2.某商场在2015年元宵节的促销活动中, 对3月5日9时至14时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图1所示.已知9时至10时的销售额为5万元, 则11时至12时的销售额为 ( ) .

(A) 10万元 (B) 15万元

3.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试.现将800名学生从1到800进行编号, 求得间隔数k= (800) / (50) =16.若从1~16中随机抽取1个数的结果是抽到了7, 则在编号为33~48的这16个学生中抽取1 名学生, 其编号应该是 ( ) .

(A) 36 (B) 39

4.某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150 件、120 件、180 件、150件.为了调查产品的情况, 需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本, 若采用分层抽样, 设甲产品中应抽取的产品件数为x, 设此次抽样中, 某件产品A被抽到的概率为y, 则x, y的值分别为 ( ) .

(A) 25, 1/4 (B) 20, 1/6

5.在区间[-5, 5]内随机取出一个实数a, 则a∈ (0, 1) 的概率为 ( ) .

(A) 0.5 (B) 0.3

6.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示 (图2) , 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数, s1, s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差, 则有 () .

7.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M , 则∠AMB>90°的概率为 ( ) .

8.在长为8 的线段AB上任取一点C, 现作一矩形, 邻边分别等于AC, BC的长, 则该矩形的面积大于15的概率为 ( ) .

9.为了研究某种细菌在特定环境下, 随时间变化的繁殖情况, 得如下实验数据, 计算得线性回归方程为.由以上信息, 得到下表中c的值为 ( ) .

(A) 5.7 (B) 6

10.若数据2, x, 2, 2 的方差为0, 则x= ( ) .

(A) 2 (B) 2.5

11.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 ( ) .

12.某高中共有1200人, 其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人, 那么高二年级被抽取的人数为 ( ) .

(A) 12 (B) 14

二、填空题

13.某县共有300个村, 按人均年可支配金额的多少分为三类, 其中一类村有60个, 二类村有100个.为了调查农民的生活状况, 要抽出部分村作为样本.现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个, 则二类村、三类村共抽取的村数为________.

14.某工厂对一批产品进行了抽样检测, 图3是根据抽样检测后的产品净重 (单位:克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) , [98, 100) , [100, 102) , [102, 104) , [104, 106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36, 则样本中在[98, 104) 内的产品的个数是_____.

15.小明通过做游戏的方式来确定周末活动, 他随机地往单位圆中投掷一点, 若此点到圆心的距离大于1/2, 则周末看电影;若此点到圆心的距离小于1/4, 则周末打篮球;否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是.

16.某单位有840名职工, 现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]内的人数为______.

三、解答题

17.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3/5.

(1) 请将上面的列联表补充完整 (不用写计算过程) ;

(2) 能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.

附:

18.某大学志愿者协会有10名同学, 成员构成如下表, 其中表中部分数据不清楚, 只知道从这10名同学中随机抽取1名, 抽到该名同学为“数学专业”的概率为2/5.

(1) 求m, n的值;

(2) 现从男同学中随机选取2名同学, 进行社会公益活动 (每位同学被选到的可能性相同) , 求选出的这2名男同学中有1名同学是“数学专业”的概率.

19.某出租车公司响应国家节能减排的号召, 已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆, 目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R (单位:公里) 分为3类, 即A:80≤R<150, B:150≤R<250, C:R≥250.对这140辆车的行驶总里程进行统计, 结果如下表:

(1) 从这140辆汽车中任取1辆, 求该车行驶总里程超过5万公里的概率;

(2) 公司为了了解这些车的工作状况, 决定抽取14辆车进行车况分析, 按表中描述的六种情况进行分层抽样, 设从C类车中抽取了n辆车.

(ⅰ) 求n的值;

(ⅱ) 如果从这n辆车中随机选取2辆车, 求恰有1 辆车行驶总里程超过5 万公里的概率.

20.某车间将10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件, 在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图4所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.

(1) 分别求出m, n的值;

(2) 分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲2和s乙2, 并由此分析两组技工的加工水平;

(3) 质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取1名技工, 对其加工的零件进行检测, 若两人加工的合格零件个数之和大于17, 则称该车间 “质量合格”, 求该车间 “质量合格”的概率.

21.已知关于x与y有如下数据:

由数据的散点图知, y与x之间满足指数模型y=aebx, 求y关于x的回归方程.

十六、概率、统计、随机变量及其分布

一、选择题

1.设随机变量ξ~N (μ, σ2) , 且P (ξ<-1) =P (ξ>2) =0.3, 则P (ξ<2μ+1) = ( ) .

(A) 0.4 (B) 0.5

2.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动, 每天只需一人参加, 其中甲参加三天活动, 乙、丙、丁每人参加一天, 那么甲连续三天参加活动的概率为 ( ) .

3.在区间 (0, 1) 内任取两个实数a, b, 则方程x2+2ax+b=0有实数根的概率为 ( ) .

4.已知随机变量ξ分别取1, 2和3, 其中概率P (ξ=1) =P (ξ=3) , 且方差D (ξ) =1/3, 则概率P (ξ=2) 的值为 ( ) .

5.从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数, 欲使取到的一个数大于k, 另一个数小于k (其中k∈{5, 6, 7, 8, 9}) 的概率是2/5, 则k= ( ) .

(A) 5 (B) 6

6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人, 若这四人被录用的机会均等, 则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ( ) .

7.设两个独立事件A, B都不发生的概率为1/9, 则A与B都发生的概率可能为 ( ) .

8.已知函数, 集合M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 现从M中任取两个不同的元素m, n, 则f (m) ·f (n) =0 的概率为 ( ) .

9.盒中有大小相同的编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6只小球, 规定:从盒中一次摸出两只球, 如果这两只球的编号均能被3整除, 则获得一等奖, 如果这两只球的编号均为偶数, 则获得二等奖, 其他情况均不获奖.若某人摸一次且获奖, 则他获得一等奖的概率为 ( ) .

10.某影院有三间放映厅, 它们同时放映三部不同的电影, 此时, 甲、乙两位同学各自买票看其中的一场, 若每位同学观看各部影片的可能性相同, 则这两位同学观看同一部影片的概率为 ( ) .

11.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的五位数, 则该五位数是奇数的概率为 ( ) .

12.从7名运动员中选出4名运动员组成接力队, 参加4×100米接力赛, 那么甲、乙两人都不跑中间两棒的概率为 ( ) .

二、填空题

13.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数, 则这七个数的中位数是5 的概率为_______.

14.随机变量ξ的分布列如下表所示, 其中a, b, c成等差数列, 若E (ξ) =1/3, 则D (ξ) 的值是_______.

15.某班有50名同学, 一次数学考试的成绩X服从正态分布N (105, 102) , 已知P (95≤X≤105) =0.34, 估计该班学生数学成绩在115分以上的有______人.

16.一个盒子内部有如图1所示的六个小格子, 现有橘子、苹果和香蕉各两个, 将这六个水果随机地放入这六个格子里, 每个格子放一个, 放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是_____-.

三、解答题

17.某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》, 共有50名同学选修, 其中男同学30名, 女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估, 学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.

(1) 求抽取的5人中男、女同学的人数.

(2) 考核的第一轮是答辩, 顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X, X的分布列为

求数学期望E (X) .

(3) 考核的第二轮是笔试:5位同学的笔试成绩分别为115, 122, 105, 111, 109;结合第一轮的答辩情况, 他们的考核成绩分别为125, 132, 115, 121, 119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12, s22, 试比较s12与s22的大小 (只需写出结论) .

18.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召, 决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车, 按续驶里程数R (单位:公里) 可分为三类车型, A:80≤R<150, B:150≤R<250, C:R≥250.甲从A, B, C三类车型中挑选, 乙从B, C两类车型中挑选, 甲、乙两人选择各类车型的概率如下表:

若甲、乙都选C类车型的概率为3/ (10) .

(1) 求p, q的值;

(2) 求甲、乙选择不同车型的概率;

(3) 某市对购买纯电动汽车进行补贴, 补贴标准如下表:

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴为X, 求X的分布列.

19.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在50 度至350 度之间, 根据调查结果绘制的频率分布直方图如图2所示.

(1) 根据直方图求x的值, 并估计该小区100户居民的月均用电量 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;

(2) 从该小区已抽取的100户居民中, 随机抽取月用电量超过250度的3户, 参加节约用电知识普及讲座, 其中恰有ξ户月用电量超过300度, 求ξ的分布列及期望.

20.某市工业部门计划对所辖中、小型企业推行节能降耗技术改造, 现对所辖企业是否支持改造进行问卷调查, 结果如下表:

(1) 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关?

(2) 从上述320家支持节能降耗技术改造的中、小型企业中按分层抽样的方法抽出12家, 然后从这12家中选出9家进行奖励, 分别奖励中、小型企业每家50 万元, 10 万元, 记9家企业所获奖励总数为X万元, 求X的分布列和数学期望.

附:

21.某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口, 在早高峰时间段, 时常发生交通拥堵现象.交警部门统计11月份30天内的拥堵天数, 东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天, 15天, 9天, 15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立, 视频率为概率.

(1) 求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;

(2) 设ξ为一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数, 求ξ的分布列及数学期望.

22.如图3, 一个靶子由四个同心圆组成, 且半径分别为1, 3, 5, 7.规定:击中A, B, C, D区域分别可获得5分, 3分, 2分, 1分, 脱靶 (即击中最大圆之外的某点) 得0分.

(1) 甲射击时脱靶的概率为0.02, 若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点, 求甲射击一次得分的数学期望.

(2) 已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4, 丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.乙、丙两人各射击一次, 记U, V分别为乙、丙两人击中的位置到圆心的距离, 且U, V取各自范围内的每个值的可能性相等, 求U<V的概率.

23.长时间用手机上网严重影响着学生的健康, 某校为了解A, B两班学生手机上网的时长, 分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查, 将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据, 绘制成茎叶图如图4所示 (图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字) .如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时, 则称为“过度用网”.

(1) 请根据样本数据, 估计A, B两班的学生平均每周上网时长的平均值;

(2) 从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据, 求恰有1个数据为“过度用网”的概率;

(3) 从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据, 记“过度用网”的学生人数为ξ, 写出ξ的分布列和数学期望.

十七、算法初步、推理与证明

一、选择题

1.图1是一个循环结构的算法, 下列说法不正确的是 ( ) .

(A) (1) 是循环变量初始化, 循环就要开始

(B) (2) 为循环体

(D) 输出的s值为2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

2.在篮球比赛中, 某篮球队队员投进三分球的个数如表所示:

图2是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s的程序框图, 则图中的判断框内应填入的条件是 () .

(A) i<6? (B) i<7?

3.若数列{an}满足, n∈N*, p为非零常数, 则称数列{an}为“梦想数列”.已知正项数列{1/bn}为“梦想数列”, 且b1b2b3…b99=299, 则b8+b92的最小值是 () .

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

4.为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2, 其中ai∈{0, 1} (i=0, 1, 2) , 传输信息为h0a0a1a2h1, 运算规则为:.例如原信息为111, 则传输信息为01111.传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错, 则下列信息一定有误的是 () .

(A) 11010 (B) 01100

5.执行如图3所示的程序框图, 若输入的n∈{1, 2, 3}, 则输出的s属于 ( ) .

(A) {1, 2} (B) {1, 3}

6.图4所示的程序框图运行结束后, 输出的集合中包含的元素个数为 ( ) .

(A) 3 (B) 4

7.执行图5所示的程序框图, 若输入的x=2, 则输出的所有x的值的和为 ( ) .

(A) 8 (B) 64

8.若函数y=f (x) 在定义域内给定区间[a, b]上存在x0 (a<x0<b) , 满足, 则称函数y=f (x) 是[a, b]上的“平均值函数”, x0是它的一个均值点.例如y=|x|是[-1, 1]上的“平均值函数”, 0就是它的均值点.若f (x) =ln x是区间[a, b] (b>a≥1) 上的“平均值函数”, x0是它的一个均值点, 则ln x0与的大小关系是 ( ) .

9.定义平面向量之间的一种运算 “⊙”如下:对任意的a= (m, n) , b= (p, q) , 令a⊙b=mq-np, 下面说法错误的是 ( ) .

(A) 若a与b共线, 则a⊙b=0

(B) a⊙b=b⊙a

(D) (a⊙b) 2+ (a·b) 2=|a|2|b|2

10.设集合M={A0, A1, A2, A3, A4, A5}, 在M上定义运算“”为:, 其中k为i+j被4除的余数, i, j=0, 1, 2, 3, 4, 5, 则满足关系式的a (a∈M) 的个数为 ( ) .

(A) 2 (B) 3

11.已知映射f:.设点A (1, 3) , B (2, 2) , 点M是线段AB上的一个动点, f:M→M′.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时, 点M的对应点M′所经过的路线长度为 ( ) .

二、填空题

12.对于曲线C所在平面上的定点P0, 若存在以点P0为顶点的角α, 使得α≥∠AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A, B恒成立, 则称角α为曲线C相对于点P0的“界角”, 并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点P0的“确界角”.曲线相对于坐标原点O的“确界角”的大小是_________.

13.如图6, 小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动, 小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置, 在这个过程中, 向量围绕着点O旋转了θ角, 其中O为小正六边形的中心, 则=______.

14.已知x∈R, 定义:A (x) 表示不小于x的最小整数.如, A (-1.2) =-1.

若A (2x+1) =3, 则x的取值范围是_____;

若x>0且A (2x·A (x) ) =5, 则x的取值范围是____.

三、解答题

15.已知函数y=f (x) , x∈D, 设曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处的切线方程为y=kx+m.如果对任意的x∈D, 均有: (1) 当x<x0时, f (x) <kx+m; (2) 当x=x0时, f (x) =kx+m; (3) 当x>x0时, f (x) >kx+m, 则称x0为函数y=f (x) 的一个“f-点”.

(1) 判断0是否是下列函数的“f-点”:

(1) f (x) =x3; (2) f (x) =sin x. (只需写出结论)

(2) 设函数f (x) =ax2+ln x.

(ⅰ) 若a=1/2, 证明:1是函数y=f (x) 的一个“f-点”;

(ⅱ) 若函数y=f (x) 存在“f- 点”, 直接写出a的取值范围.

16.已知函数y=f (x) , 若在区间 (-2, 2) 内有且只有一个x0, 使得f (x0) =1成立, 则称函数f (x) 具有性质M.

(1) 若f (x) =sin x+2, 判断f (x) 是否具有性质M, 说明理由;

(2) 若函数f (x) =x2+2mx+2m+1具有性质M, 试求实数m的取值范围.

十八、复数、选考内容

一、选择题

1.复数 (i是虚数单位) 是纯虚数, 则实数a的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3

2.在极坐标系中, 曲线ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0与极轴交于A, B两点, 则A, B两点间的距离等于 () .

3.如图1, 在复平面内, 点A对应的复数为z, 则复数z2= ( ) .

(A) -3-4i

(B) 5+4i

(D) 3-4i

4.在极坐标系中, 过点 (2, - (π/6) ) 且平行于极轴的直线的方程是 ( ) .

5.如图2, P为⊙O外一点, PA是切线, A为切点, 割线PBC与⊙O相交于点B, C, 且PC=2PA, D为线段PC的中点, AD的延长线交⊙O于点E.若PB=3/4, 则AD·DE= () .

6.在极坐标系中, 与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=π/6 (ρ∈R) 对称的曲线的极坐标方程是 ( ) .

7.已知复数z=1-i (i为虚数单位) , 是z的共轭复数, 设的虚部为m, , 则m, n的值分别为 () .

8.关于x的不等式|x-1|-|x|-|m+1|>0的解集非空, 则实数m的取值范围是 () .

(A) [-2, 0) (B) (-2, 0)

9.在极坐标系内, 已知曲线C1的方程为ρ=2cosθ, 以极点为原点, 极轴方向为x正半轴方向, 利用相同单位长度建立平面直角坐标系, 曲线C2的参数方程为 (t为参数) 设点P为曲线C2上的动点, 过点P作曲线C1的两条切线, 则这两条切线所成角的最大值是 () .

(A) 30° (B) 45°

10.不等式对一切非零实数x, y均成立, 则实数a的取值范围为 () .

(A) (1, 3) (B) [1, 3]

11.已知a, b, c∈R, a2+b2+c2=9, M=a+2b+3c, 则M的最大值是 ( ) .

12.已知函数f (x) =|x-k|+|x-2k|, 若对任意的x∈R, f (x) ≥f (3) =f (4) 都成立, 则k的取值范围为 ( ) .

(A) (2, 3] (B) [2, 3)

13.若曲线C: (θ 为参数) 与直线l: (t为参数) 恰有1 个交点, 则实数a的取值范围是 ( ) .

14. (理) 已知 (i是虚数单位) , 的展开式中系数为实数的项有 () .

(A) 671项 (B) 672项

其中正确的个数有 () .

(A) 1 (B) 2

二、填空题

15.在极坐标系中, 直线θ=π/4 (ρ∈R) 被圆ρ=4sinθ截得的弦长为______.

16.如图3, AD是⊙O的切线, , 那么∠CAD=.

17.若复数z=1-2i (i为虚数单位) , 是z的共轭复数, 则=____.

18.已知曲线C:{, (α为参数) 若以点O (0, 0) 为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则该曲线的极坐标方程是________.

三、解答题

19.如图4 所示, 已知圆O外有一点P, 作圆O的切线PM , M为切点, 过PM的中点N作割线NAB交圆于A, B两点, 连结PA并延长交圆O于点C, 连结PB交圆O于点D, 若MC=BC.

(1) 求证:△APM∽△ABP;

(2) 求证:四边形PMCD是平行四边形.

20.在直角坐标系xOy中, 圆C的参数方程为{, (φ为参数) 以O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1) 求圆C的极坐标方程;

(2) 直线l的极坐标方程是, 射线OM:θ=π/3与圆C的交点为O, P, 与直线l的交点为Q, 求线段PQ的长.

21.设f (x) =|x-1|+|x+1|.

(1) 求f (x) ≤x+2的解集;

(2) 若不等式对任意实数a≠0恒成立, 求实数x的取值范围.

22.如图5 所示, 四边形ABDC内接于圆, BD =CD, 过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E.

(1) 求证:∠EAC=2∠ECD;

(2) 若BD⊥AB, BC=BE, AE=2, 求AB的长.

23.极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点, 极轴为x轴的正半轴, 两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2 (cosθ+sinθ) , 斜率为的直线l交y轴于点E (0, 1) .

(1) 求C的直角坐标方程, l的参数方程;

(2) 直线l与曲线C交于A, B两点, 求|EA|+|EB|的值.

24.如图6所示, 已知PA与⊙O相切, A为切点, 过点P的割线交圆于B, C两点, 弦CD∥AP, AD, BC相交于点E, F为CE上一点, 且DE2=EF·EC.

(1) 求证:CE·EB=EF·EP;

(2) 若CE∶BE=3∶2, DE=3, EF=2, 求PA的长.

25.平面直角坐标系中, 直线l的参数方程是 (t为参数) 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.

(1) 求直线l的极坐标方程;

(2) 若直线l与曲线C相交于A, B两点, 求|AB|.

26.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M, a, b∈M.

(2) 比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.

27.已知a, b∈R*, a+b=1, x1, x2∈R*.

(2) 求证: (ax1+bx2) (ax2+bx1) ≥x1x2.

参考答案

十四、计数原理

1.C.一个点在平面的一侧, 而另外三个点在平面的另一侧, 有C41=4个这样的平面;两个点在平面的一侧, 而另外两个点在平面的另一侧, 有C42÷2=3个这样的平面 (注意此处为平均分组问题, 故要除以2, 以防重复) .故共有7个满足题意的平面.

2.C.

【变式】的展开式中各项系数的和是-128, 则n= ( ) .

(A) 3 (B) 5

(答案:C.)

3.D. 4.C.

5.D.

6.B. (1) 若涂成红色的方格数为2, 则有C32×2=6种涂法; (2) 若涂成红色的方格数为0, 则有2×2×2=8 种涂法.故共有6+8=14 种涂法.

【变式】用红、黄、蓝三种颜色对右图所示的四个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色, 且相邻方格涂不同的颜色, 则不同的涂色方案有 () .

(A) 6种 (B) 14种

(答案:D.)

7.D.

8.C.由题中所给的框图, 得

9.A.红色卡片仅取1 张有C41C212种取法;没有红色卡片有C312-3C43种取法.故共有C41C212+C312-3C43=472种取法.

【变式】现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张, 要求这3张卡片颜色都不相同, 且红色卡片至多有1张, 则不同取法的种数为 ( ) .

(A) 472 (B) 288

(答案:C.提示:红色卡片仅取1 张有C41C32C41C41=192 种取法;没有红色卡片有C41C41C41=64种取法.故共有192+64=256种取法.)

10.C.设高二年级学生共有n人, 高二年级每人获得k/2分 (k∈N) , 于是所有人的总分和为8+n·k/2.由于共有C2n+2场比赛, 所以所有人的总分和也可表示为C2n+2.所以C2n+2=8+n·k/2, 得k=n- (14/n) +3 (k∈N) .所以n=7 或n=14.

11.C.a= (-cos x+sin x) |0π=1- (-1) =2, 则Tr+1= (-1) r·26-r·C6rx3-r, 要使二项式的展开式中系数最小, 需r为奇数, 且26-r·C6r取得较大值.

由, 得, 即, 有r=2, 但r=2为偶数, 检验r=1或r=3的情形.当r=1时, T2=-192x2.当r=3时, T4=-160x0=-160.所以展开式中系数最小的项是T2=-192x2.

【变式】的展开式中二项式系数最大的项是 () .

(A) 第3项或第4项

(B) 第4项或第5项

(D) 240x

(答案:B.)

12.C. (1-x) 8的通项Tr+1= (-1) rC8rxr.当r为偶数时, ar= (-1) rC8r>0;当r为奇数时, ar<0.取x= -1 代入 (1-x) 8中, 得28=256.

【变式】设 (1-x) 8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8, 则a0+a1+2a2+…+8a8= ( ) .

(A) 0 (B) 1

(答案:B.提示:原等式两边对x求导, 得-8 (1-x) 7=a1+2a2x+…+8a8x7, 取x=1, 有a1+2a2+…+8a8=0.又a0= (-1) 0C80=1, 于是a0+a1+2a2+…+8a8=1.)

13.A.有两种情况:一是4场均为平, 有1种情况;二是2胜2负, 有种情况.故共有7种情况.

【变式】现有3 本相同的语文书, 2 本相同的数学书, 1 本英语书.把这6 本书排成一排, 共有排法 ( ) .

(A) 120种 (B) 60种

14.C.

15.C. (1) 甲、乙分别坐第1, 2位, 丙只能坐第4, 5位, 有2×A22=4种坐法;乙、甲分别坐第1, 2位, 丙可坐第3, 4, 5位, 有3×A22=6种坐法. (2) 甲、乙分别坐第2, 3位, 丙只能坐第1, 5位, 有2×A22=4种坐法;乙、甲分别坐第2, 3位, 丙只能坐第4, 5位, 有2×A22=4 种坐法. (3) 甲、乙坐第3, 4位, 同 (2) 有8种坐法. (4) 甲、乙坐第4, 5位, 同 (1) 有10 种坐法.故共有10+8+8+10=36种坐法.

【点拨】相邻问题捆绑法, 相离问题插空法是处理相邻与相离问题的常用方法, 但是具体问题要具体分析.如本题, 甲和乙相邻, 乙和丙相离, 直接用捆绑法与插空法不好处理, 这时我们可以从实际出发, 用分类与分步计数原理解决问题.

【变式1】五个人坐成一排, 甲要和乙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .

(A) 12 (B) 24

(答案:D.)

【变式2】五个人坐成一排, 甲不和乙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .

(A) 24 (B) 36

(答案:D.)

16.C., 它的通项的通项T′k+1=Ck3-rx6-2r-4k, 其中0≤r≤3, 0≤k≤3-r, 则Tr+1= (-2) rCr3Ck3-r·x6-2r-4k.令6-2r-4k=0, 得3-r-2k=0.当r=0时, 无解;当r=1时, k=1;当r=2时, 无解;当r=3时, k=0.故所求常数项为 (-2) 1C13C12+ (-2) 3C33C00=-20.

【变式】展开 (a+b+c) 6, 合并同类项后, 含ab2c3项的系数是 ( ) .

(A) 10 (B) 20

(答案:D.提示:[ (a+b) +c]6的通项Tr+1=C6r (a+b) 6-rcr, 则r=3, T4=C63 (a+b) 3c3, (a+b) 3的通项T′k+1=C3ka3-kbk, 令k=2, 可得所求系数为C63C32=60.)

17.A.分为两类:第一类为2+2+1, 即有2所学校分别保送2 名同学, 有C52C32C11×3=90种方法;第二类为3+1+1, 即有1所学校保送3名同学, 有C53C21C11×3=60种方法.故共有90+60=150种方法.

【变式1】将6 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读, 则每所大学至少保送1 人的不同保送方法数为 ( ) .

(A) 150 (B) 180

(答案:D.)

【变式2】将6 本不同的书平均分成三份, 每份2本, 不同分法有 ( ) .

(A) 15种 (B) 90种

18.C.首先可让4 位姐姐站成一圈, 属圆排列, 有种站法, 然后再让妹妹插入其间, 每位均可插入其姐姐的左边和右边, 有2种方式, 故不同的站法有6×24=96种.

【点拨】从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有种不同排法.

19.0.

21.90. 22.2133.

23. (1) 已知数列{an}满足各项为1, 即F (n) =Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+ (-1) nCnn.

(2) 当n=2时, F (2) =a1-a2C21+a3C22=0, 即2a2=a1+a3,

所以数列{an}的前3项成等差数列.

假设当n=k时, 由F (k) =a1-a2Ck1+a3Ck2-a4Ck3+…+ (-1) kak+1Ckk=0,

可得数列{an}的前k+1项成等差数列.

因为对任意大于等于2 的正整数n, 都有F (n) =0恒成立, 所以F (k+1) =0成立.

两式相减, 得

由假设可知a2, a3, a4, …, ak+1, ak+2也成等差数列, 从而数列{an}的前k+2 项成等差数列.

综上所述, 若F (n) =0 对任意n≥2, n∈N*恒成立, 则数列{an}是等差数列.

十五、统计、概率、统计案例

1.A.2.C.3.B.4.D.

5.D.

【变式】在区间[-5, 5]内任取两个数a, b, 则|x-y|<1的概率为 ( ) .

(A) 0.2 (B) 0.19

(答案:B.)

6.B.

【变式】条件同原题, 设甲同学数学测验成绩的众数为a, 乙同学数学测验成绩的中位数为b, 则a, b的值分别为 ( ) .

(A) 85, 86 (B) 85, 85

(答案:B.)

7.A.如右图, 当点M在半圆上时, ∠AMB=90°.而∠AMB>90°, 易知点M在半圆内, 故所求的概率.

【变式1】已知正方形ABCD的边长为2, 在边BC上任取一点M , 则∠AMB>60°的概率为 ( ) .

(答案:B.)

【变式2】已知正方形ABCD的边长为2, 在∠BAC内任作射线AP, 且AP与BC交于点M , 则∠AMB>60°的概率为 ( ) .

(答案:A.)

8.B.9.B.10.A.

11.B.

【变式】袋子里有两个相同的红球和两个相同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 ( ) .

(答案:A.)

12.C.

17. (1) 列联表补充如下:

(2) 在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关 (理由略) .

18. (1) m=3, n=1.

(2) 至少有1名同学是“数学专业”的概率是4/5.

19. (1) 从这140辆汽车中任取1辆, 则该车行驶总里程超过5 万公里的概率为.

(ⅱ) 5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆, 记为A, B, C;5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆, 记为M, N.

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10 种:AB, AC, AM, AN, BC, BM, BN, CM, CN, MN.

“从5辆车中随机选取2辆车, 恰有1辆车行驶里程超过5 万公里”的选法共6 种:AM, AN, BM, BN, CM, CN.

设“选取2辆车中恰有1辆车行驶里程超过5万公里”为事件D, 则.

20. (1) m=3, n=8.

(2) 根据题意, 得

因为, 所以甲、乙两组的整体水平相当, 乙组更稳定一些.

(3) 质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取1名技工, 对其加工的零件进行检测, 设两人加工的合格零件数分别为 (a, b) , 则 (a, b) 的所有取值为: (7, 8) , (7, 9) , (7, 10) , (7, 11) , (7, 12) , (8, 8) , (8, 9) , (8, 10) , (8, 11) , (8, 12) , (10, 8) , (10, 9) , (10, 10) , (10, 11) , (10, 12) , (12, 8) , (12, 9) , (12, 10) , (12, 11) , (12, 12) , (13, 8) , (13, 9) , (13, 10) , (13, 11) , (13, 12) , 共计25个, 而a+b≤17的情形有 (7, 8) , (7, 9) , (7, 10) , (8, 8) , (8, 9) , 共计5个, 因此满足a+b>17的情形共有25-5=20个.故该车间“质量合格”的概率为.

21.令z=ln y, 则z=bx+ln a.

在z=ln y的变换下, x与z的数据表为

所以y关于x的回归方程为.

十六、概率、统计、随机变量及其分布

1.D.

2.B.

【变式】安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动, 每天只需一人参加, 且每人至少参加一天活动, 那么甲连续三天参加活动的概率为 ( ) .

3.B.由题意, 得而Δ= (2a) 2-4b≥0, 有a2≥b.在aOb平面内, 抛物线b=a2, 直线a=1与a轴围成封闭图形的面积.故所求的概率.

【变式】已知随机变量ξ分别取1和2, 则方差D (ξ) 的最大值为 ( ) .

5.C.从集合中任取两个数有C210=45种取法, 取到的一个数大于k, 另一个数小于k, 有 (10-k) (k-1) 种取法, 则, 解得k=4或k=7.又k∈{5, 6, 7, 8, 9}, 所以k=7.

【变式】从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数, 设取到的一个数大于k, 另一个数小于k的概率为P, 则P的最大值是 ( ) .

(答案:B.提示:, 因此当k=5或k=6时, .)

6.D.

8.A. 9.A. 10.B.

11.D.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的五位数有A65-A54=5!×5种可能, 该五位数是奇数有3 (A54-A43) =3×4!×4 种可能, 故所求的概率为.

12.C.从7 名运动员中选出4 名运动员, 不同的选法有C74种, 参加4×100米接力赛的不同方式有A44种, 所以共有C74A44=840种方式.选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是:第一步, 安排中间2个位置有A52=20种选法, 第二步, 安排首尾2个位置有A52=20种选法, 所以共有20×20=400种选法.所以甲、乙两人都不跑中间两棒的概率为.

13.31. 14.95.

15.8.由于95 与115的中点为105, 于是P (X>115) =1/2[1-2P (95≤X ≤105) ]=0.16, 估计该班学生数学成绩在115分以上的有50×0.16=8人.

16.2/ (15) .第一列有C12C12C12A33种放法, 放好第一列后, 第二列只有2种放法, 所以所求的概率为.

【点拨】在计算与排列、组合问题有关的概率问题时, 需考虑是否与顺序有关的情形, 如本题, 由于总数A66中已将每种水果的每一个作了区分, 于是在计算满足题意的种数时也应作同样的考虑.

17. (1) 抽取男同学的人数为3, 女同学的人数为2.

(2) 设“甲、乙选择不同车型”为事件A,

(3) X的可能取值为7, 8, 9, 10.

所以X的分布列为

19. (1) 由已知, 得50× (0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0) =1, 所以x=0.004 4.

设该小区100户居民的月均用电量为S, 则S=0.002 4×50×75+0.003 6×50×125+0.006 0×50×175+0.004 4×50×225+0.002 4×50×275+0.001 2×50×325=186.

(2) 该小区用电量在 (250, 300]内的用户数为0.002 4×50×100=12, 用电量在 (300, 350]内的用户数为0.0012×50×100=6.

易知ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 则

所以ξ的分布列为

20. (1) 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关.

(2) 由 (1) 可知支持节能降耗技术改造的企业中, 中、小型企业家数之比为1∶3, 按分层抽样得到的12家中, 中、小型企业分别为3家和9家.设9家获得奖励的企业中, 中、小型企业分别为m家和n家, 则 (m, n) 可能为 (0, 9) , (1, 8) , (2, 7) , (3, 6) .与之对应, X的可能取值为90, 130, 170, 210.

所以X的分布列为

21. (1) 设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A, B, C, D, 则.

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M, 则.

(2) ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.

所以ξ的分布列为

所以X的分布列为

(2) 由题意, 得其对应区域为图中的矩形, 而对应的区域为图中的阴影部分.由几何概型概率的计算公式, 得.

23. (1) 经计算, 得.

据此估计A班学生每周平均上网的时长为18小时, B班学生每周平均上网的时长为22小时.

(2) A班的样本数据中上网的时长不小于21小时的有2个, 从中有放回地抽取2个, 恰有1个数据为“过度用网”的概率为.

(3) ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.

所以ξ的分布列为

十七、算法初步、推理与证明

1.D.2.B.

3.B.由知, {}是等比数列.由{}为“梦想数列”, 得{bn}是等比数列.由b1b2b3…b99=299, 得b991q1+2+…+98=299, 有b1·q49=2, 即b50=2.所以.

4.C. 5.A. 6.A. 7.C.

9.B.

10.B.设a=Ai, 则=A0等价于2i+2被4 除的余数为0, 则i为奇数, 故a可取A1, A3, A5.

12..由题意知“确界角”α′为“包含”曲线C的最小角.由, 得y2-x2=1, 且x≥0, y≥0, 它表示双曲线y2-x2=1在第一象限的部分.由, 得x2+ (y-2) 2=1, x<0, y≤2, 它表示四分之一圆, 如下图.当过原点的直线l与四分之一圆相切时, l与y轴的夹角为π/6, 于是.

13.-1.从题图中得出, 第一个到第二个OA转过了60°, 第二个到第三个转过了120°, 依此类推, 得角θ为1080°, 所以.

所以1<x≤5/4.

15. (1) (1) 0 是f (x) =x3的“f- 点”; (2) 0不是f (x) =sin x的“f-点”.

所以函数g (x) 是 (0, +∞) 上的增函数.

当x=1时, g (x) =g (1) =0, 即f (x) =2x- (3/2) ;

当x>1时, g (x) >g (1) =0, 即f (x) >2x- (3/2) .

所以1是函数y=f (x) 的“f-点”.

(ⅱ) 若函数y=f (x) 存在“f- 点”, 则a的取值范围是a>0.

16. (1) f (x) =sin x+2具有性质M.

依题意, 若存在x0∈ (-2, 2) , 使f (x0) =1, 则当x0∈ (-2, 2) 时有sin x0+2=1, 即sin x0=-1, 得x0=2kπ- (π/2) , k∈Z.由于x0∈ (-2, 2) , 所以x0=- (π/2) .又因为在区间 (-2, 2) 内有且只有一个x0=- (π/2) 使f (x0) =1成立, 所以f (x) 具有性质M.

(2) 依题意, 若函数f (x) =x2+2mx+2m+1具有性质M, 则可知方程x2+2mx+2m=0在 (-2, 2) 内有且只有一个实根.

令h (x) =x2+2mx+2m, 即h (x) 在 (-2, 2) 内有且只有一个零点.

当-m≤-2, 即m≥2时, 可得h (x) 在 (-2, 2) 内为增函数, 只需解得即m>2.

当-2<-m<2, 即-2<m<2时, 若使函数h (x) 在 (-2, 2) 内有且只有一个零点, 需考虑以下3种情况:

(1) 当m=0 时, h (x) =x2在 (-2, 2) 内有且只有一个零点, 符合题意;

综上所述, 实数m的取值范围是m≤-2/3或m>2或m=0.

十八、复数、选考内容

1.C. 2.B. 3.D. 4.D.

5.C.设PD=DC=x.由PC=2PA, 得PA=x.而PB=3/4, 由PA2=PB·PC, 得x2=3/4·2x, 则x=3/2.所以.

6.C.设点 (ρ′, θ′) 是所求曲线上任一点, 此点关于直线θ=π/6对称的点 (ρ, θ) 在曲线ρ=cosθ+1上, 则

【点拨】处理极坐标问题通常有两种方法:一是转化法, 即将问题转化为直角坐标系问题来解;二是数形结合法, 直接在极坐标系中解决问题.

7.D.

8.B.原问题等价于存在实数x, 使得|x-1|-|x|>|m+1|, 而|x-1|-|x|≤1, 所以1>|m+1|, 有-1<m+1<1, 即-2<m<0.

9.C.C1: (x-1) 2+y2=1, C2:3x-4y+7=0, 圆心Q (1, 0) .设切点为A, B, 如右图, 要使∠APB最大, 则∠APQ取最大值, 而, 所以当PQ取最小值2 (Q到曲线C2的距离) 时, ∠APB取最大值60°.

10.B.因为对一切非零实数x, y均成立, 所以2+ (-1) ≥|a-2|, 则1≤a≤3.

13.C.曲线C的普通方程为y=2x2-1 (-1≤x≤1) , 直线l的普通方程为y=x+a.画出图形知 (图略) , 当直线l与曲线C相切时, 联立得2x2-x-1-a=0.

由Δ=1+8 (1+a) =0, 得a= - (9/8) .当直线l过点 (1, 1) 时, a=0, 直线l与曲线C有2个交点;当直线l过点 (-1, 1) 时, a=2, 直线l与曲线C有1 个交点.于是a的取值范围是{- (9/8) }∪ (0, 2].

令2015-2r=3k, 得, 得1-r=3m, 即r=1-3m.

由0≤r≤2015, 得-671≤m≤0, m∈Z, 知r=1, 4, 7, …, 2014, 共有672个.

(文) D.

19. (1) 因为PM是圆O的切线, NAB是圆O的割线, N是PM的中点, 所以MN2=PN2=NA·NB, 即.又因为∠PNA= ∠BNP, 所以 △PNA ∽ △BNP.所以∠APN= ∠PBN, 即∠APM = ∠PBA.因为MC=BC, 所以∠MAC=∠BAC.所以∠MAP=∠PAB.所以△APM∽△ABP.

(2) 因为∠ACD=∠PBN, 所以∠ACD=∠PBN= ∠APN, 即∠PCD = ∠CPM.所以PM∥CD.

因为 △APM ∽ △ABP, 所以∠PMA =∠BPA.因为PM是圆O的切线, 所以∠PMA=∠MCP.所以∠PMA= ∠BPA= ∠MCP, 即∠DPC=∠MCP.所以MC∥PD.

所以四边形PMCD是平行四边形.

20. (1) 圆C的普通方程为 (x-1) 2+y2=1.又x=ρcosθ, y=ρsinθ, 所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.

21. (1) 由f (x) ≤x+2, 得

解得0≤x≤2.

所以f (x) ≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}.

由不等式对任意实数a≠0恒成立, 可得|x-1|+|x+1|≥3, 解得.

故实数x的取值范围是x≤- (3/2) 或x≥3/2.

22. (1) 因为BD =CD, 所以∠BCD =∠CBD.因为CE是圆的切线, 所以∠ECD=∠CBD.所以∠ECD= ∠BCD.所以∠BCE=2∠ECD.因为∠EAC=∠BCE, 所以∠EAC=2∠ECD.

(2) 因为BD⊥AB, 所以AC⊥CD, AC=AB.因为BC=BE, 所以∠BEC= ∠BCE=∠EAC.所以AC=EC.由切割线定理, 得EC2=AE·BE, 即AB2=AE· (AE-AB) , 即AB2+2AB-4=0, 解得 (负值舍去) .

23. (1) 由ρ=2 (cosθ+sinθ) , 得ρ2=2 (ρcosθ+ρsinθ) , 即x2+y2=2x+2y, 即 (x-1) 2+ (y-1) 2=2.

24. (1) 因为DE2=EF·EC, ∠DEF=∠DEF, 所以△DEF∽△CED.所以∠EDF=∠C.又因为CD∥AP, 所以∠P= ∠C.所以∠EDF = ∠P.又∠DEF = ∠PEA, 所以△EPA∽△EDF.所以, 即EA·ED=EF·EP.又因为EA·ED=CE·EB, 所以CE·EB=EF·EP.

(2) 因为DE2=EF·EC, DE=3, EF=2, 所以EC=9/2.因为CE∶BE=3∶2, 所以BE=3.

由 (1) 可知, CE·EB=EF·EP, 解得.所以.因为PA是⊙O的切线, 所以PA2=PB·PC.所以.

25. (1) 直线l的极坐标方程为θ=π/3 (ρ∈R) .

(2) 证法一:已知a, b∈R*, a+b=1, x1, x2∈R*, 由柯西不等式, 得

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