列方程解应用题复习课(14篇)
1.列方程解应用题复习课 篇一
执教:陈光登
教学目的
1. 通过复习,使学生能够运用所学知识,采用列方程的方法解答应用题.
2. 通过复习,使学生能够准确的找出题目中的等量关系及发现生活中的等量关系。
3. 培养学生的分析以及综合能力.能够从不同角度解决同一个问题.
4. 通过调查数据和利用数据,使学生在现实情境中体会到数学与现实生活的密切联系。
教学重点
通过复习,使学生能够准确的找出等量关系.
教学准备
调查表的各项内容,学生需提前一天认真调查,填写。
教学过程 :
一、 创设情境:我也是洋里中心校毕业的,我很愿意与同学们交朋友,交朋友应相互了解,比如,我知道班长林端13岁,体育委员江莹莹14岁,你们猜猜,陈老师今年有多少岁?
二、 沟通整理,复习。
1、理一理,复习列方程解应用题的一般步骤及关键。
(1)让我用应用题的方式告诉你们:班长林端13岁,体育委员江莹莹14岁,他们岁数之和是陈老师的 ,陈老师今年多少岁?(板书)
(2)你能用方程方法解答这一题吗?(反馈)今天,我们将通过了解陈老师,一起交朋友的办法来复习列方程解应用题。(板书课题:总复习:列方程解应用题)
(3)过渡:结合解的过程,回忆一下,列方程解应用题有哪几个步骤,并写在笔记中。
(4)反馈:谁来说说?(师简单板书各步。)哪一步是列方程解应用题的关键?(划出第二步)
(5)过渡:列方程解应用题的关键是找数量间相等关系,等量关系找到了,问题就迎刃而解了,陈老师有多个找等量关系的绝招,这些绝招就隐藏在陈老师的“自我介绍”中。
2、了解找等量关系的途径,优选方程方法。
(1) 找等量关系,并写出来。
“自我介绍”
副班长体重35千克,比陈老师体重的 多5千克,陈老师体重多少千克?
陈老师爱好种花,去年种了一批,大旱后死了三分之一,过冬时又死了6棵,最后还剩10棵,求去年种了多少棵?
陈老师家门口有一长方形的鱼塘,周长24米,长7米,那宽多少米?
陈老师节约用钱,去年还存了5000元,存期一年,利率2 ,今年取款时银行应多付我多少元?
(2)生逐题回答等量关系,师生共同小结:找等量关系可以根据什么去找?(根据关键句或重点词句找等量关系;按照事理以及根据事情发展感变化的情况找等量关系;利用常见的数量关系和计算公式找等量关系。)
板书:1,关键字词。 “比”“是” “多” “少”
2,事情发展。
3,计算公式。
4,常见的数量关系。
(3)学生利用调查表举例说等量关系。
(4)利用等量关系解答各题。(提醒学生注意第四题的要求)---想想用方程解容易还是算术解容易,拣容易的方法做。
(5)生独立回答各题。
(6)比较等量关系中的未知数位置,自主发现最后一题的未知数单独在等号的另一端,所以用算术解容易,而其余各题的未知数与已知数混在一起,用方程解较容易。
(7)第一题你还可以列出什么方程?等量关系是什么?
(8)你认为哪种方程最容易想?(小结:对了,一道题可以列出多种方程,我们要选择最容易想的方程。)
(9)过渡:其实,找到等量关系后,这些应用题都可以用算术方法解,比如就第一题算术方法怎样解?谁会分析?(领会等量关系中未知数与已知数混在一起的,通过进一步分析后,也可找到算术解,即逆向思考,较困难,看来,遇到需逆向思考的问题时,用方程解比用算术方法解更容易想一些)
3、比较用方程解和用算术方法解的不同及其本质。
(1)先观察这一题的.方程解法和算术方法解法,然后回忆一下,再四人小组讨论并合作填写下表:
应用题方程解法与算术解法异同点
方程解法
算术解法
相同点
都要找准
不
同
点
1未知数
未知数
2根据_______,直接列出
对______进行再分析,列出
4、小结过渡:
(1)小结:今天复习了什么?你有什么收获?
(2)刚刚通过了解老师复习了列方程解应用题,下面要进行练习与提高了,陈老师很想通过了解同学们的方式进行,行吗?
三、练习拓展:
1、拓展、开放性练习
(3)同学们已经搜集了很多自己的数据,要求同学们也得学着老师,用应用题的方式介绍自己。
(4)请每组选择本组的数据编一道应用题,要力争让同学们选自已的题目去做,不能太难,也不能太容易,具体请看要求。
1、每前后4人一小组,由小组组长负责;
2、要充分发挥本组集体的力量,合作完成;
3、看看哪一小组的题目具有现实性、挑战性、新颖性,完成速度快。
(1)小组合作完成后,小组互评,订正,展示,适当评讲。
(2) 四种情况分别请同学汇报。随机评讲。
2、了解学校和社会,应用性、提高性练习:
找等量关系
我校学生610人,其中女生约占48 ,我乡最高峰是莲花峰,海拔1200米,比泰山矮 ,我乡总人口 ,约占全县人口的 ,
练习:(间接设x)我县的东南汽车厂去年上半年完成了全年计划产量的 ,下半年又生产了43000辆,实际全年超产了 ,求东南汽车厂去年生产了几辆汽车?
2.列方程解应用题复习课 篇二
多次出现列方程解应用题、关键是前两次, 通过列一元一次方程解应用题与列二元或三元一次方程组解应用题, 教给学生列方程解应用题的基本思想, 方法和步骤, 打好了基础, 就会一通百通。下面以“列一元一次方程解应用题”为例, 说明教学中应遵循的一些原则和规律, 以及解决这一教学难点的做法。
我们知道, 列方程解应用题的一般步骤是:
(1) 审题, 要透彻理解题意, 明确哪些是已知量, 哪些是未知量, 有几个未知量, 根据应用题的结构特征, 有几个未知量, 就应有几个相等关系, 因此要全力找出这几个相等关系, 特别要注意挖掘隐蔽的相等关系。
(2) 设元, 根据题目要求, 考虑用直接设法还是用间接设法, 同时要考虑设几个未知数为宜。
(3) 列式, 根据题目中相等关系, 找出相等量列出方程或方程组。列方程时要注意未知数的个数与方程的个数一致, 避免列出方程解不出来的情况出现。
(4) 求解, 是主要步骤, 根据方程解法的一般步骤解出所列方程或方程组。计算的准确性决定答案的正误, 计算速度决定做题的效率。想提高计算的准确性和计算速度, 最有效的方法是做题——找解方程的类型题, 做完后总结方法。
(5) 根据应用题的实际意义, 检验方程或方程组的解是否符合题意。一方面检验方程解的正确性;另一方面, 有的实际问题可能解得出答案, 但实际上解并不符合题中要求, 此时也显示出检验的重要性。
(6) 作答:根据所设要求, 写出正确合理的答案。答是一个易被遗忘的步骤, 特别是答语中的单位名称, 更需要注意。然而当“答:——”成为一种习惯后, 就绝不会忘掉。
以上步骤中, 前两步是基础, 第三步是关键, 如果“解一元一次方程”的教学是过了关的, 那么上面最后三步是不成问题的, 从这种意义上来说“列方程解应用题”的教学重点应放在前三步上, 这是这一节教学成败的关键, 也是培养学生分析问题能力, 发展学生思维与智能的重要场所。
例如:某件商品的进价是40元, 卖出后盈利25%, 那么利润是多少?如果卖出后亏损25%, 利润又是多少?
分析:盈利:售价>进价利润=售价-进价>0
亏损:售价<进价利润=售价-进价<0
解:设盈利25%的衣服的进价为x元
x+25%x=60
由此得x=48
设亏损25%的衣服的进价为y元
y-25%y=60
由此得y=80
两件衣服的进价 (和) 是x+y=128元,
两件衣服的售价 (和) 120元。
∵进价>售价
∴卖这两件衣服总的是亏损。
说明:在解答此题时, 大家很容易理解为不盈不亏, 其原因是一件盈利25%, 另一件亏损25%, 好像持平, 其表面看起来不盈不亏, 其实每件衣服盈利率的标准量不同。我们通过列出两个方程, 进行综合分析, 得到了正确的结论。
解应用题的前三步是密切关系的, 有时甚至是交织在一起的, 在教学中怎样破这一环节呢?
(一) 要引导学生认真“识题”要分清题中哪些是已知, 哪些是未知量, 已知量与未知量之间有怎样的关系, 这些关系是直接给出的还是间接给出的, 凡涉及到教学、物理、化学方面的公式、定律时, 应该结合题目予以复习, 不要认为这些公式是学过的学生都已经掌握了。遗忘是学习的特点之一, “温故而知新”只有在新旧知识的反复循环中, 才能巩固加深学过的知识, 才会获得新的知识, 如果忽视这一点, 就会给整个教学带来困难。
(二) 要重视“用未知数表示代数式”这一环节的教学。一个应用题中往往含有若干个量, 当我们选择某一未知量为未知数后, 就要用这个未知数表示其他相关的量, 即把其他相关的量写成含有未知数的代数式, 这一步对初学者来说是不可忽视的, 在教学中, 不要设完未知数后就立即进入列方程, 应加强这一方面的训练。
(三) 要引导学生搞清一些常见的基本数量关系式并熟悉它们的变形如:
行程问题:速度×时间=距离
工程问题:工作效率×时间=工作量
搞清这些基本关系式, 对于解决常见的应用是很有好处的。
(四) 要注意分析题中的等量关系, 例如:轮船在两个码头之间航行, 由于顺水和逆水的方向不同, 速度也就不同, 所用时间也不相等, 但我们要抓住这道题的等量关系, 即:顺水中航行的路程=逆水中航行的路程, 顺水中航行的速度=静水中的速度+水速。
逆水中航行的速度=静水中的速度-水速等这类问题的相等关系, 抓住这一点, 问题就迎刃而解了。
摘要:列方程解应用题是运用方程知识解决实际问题的重要课题, 对于培养学生分析问题与解决问题的能力十分有益, 特别对提高学生素质起着一定的促进作用。它既是初中数学教学中的重点内容, 也是难点内容。
3.例谈列分式方程解应用题 篇三
1. 可以根据不同类型的应用题设置相关的问题串来启发引导学生分析、理解题意,理顺题中的数量关系。
2. 运用列表格帮助学生分析问题中的数量及数量之间的关系,并把文字语言转化为数学符号语言。
请看下面一个行程问题:
从甲地到乙地有两条公路,一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路,某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路從甲地到乙地所需的时间。
教学时可设置下列的问题来引导学生思考,从而达到理解题意的目的:
1. 这是什么类型的问题?问题的两种对比方式是什么?(行程问题,客车在高速公路上行行驶和在普通公路上行驶两种方式)
2. 与行程问题有关系的数量有哪些?它们之间有什么关系?(路程s、速度v、时间t;关系:s=vt,v=s/t,t=s/v)
3. 题中已知哪些数量?未知量是什么?该设哪一个未知数为x,又可用x表示哪一个未知数?(普通公路长600km,高速公路长400 km;可设客车在高速公路从甲地到乙地所需的时间为x小时,则客车在普通公路上从甲地到乙地所需的时间为2x小时)
4. 题目中的哪一个句子揭示了相等关系?试将其写成等式。(客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快45km/h;即客车在高速公路上行驶的平均速度减客车在普通公路上行驶的平均速度等于45km/h)
通过这样的设问引导,学生在充分思考后,已基本能充分且全面地理解题意。渐渐地,经过反复的训练,学生便在潜移默化中学会了这种读题、审题的思考和分析方法。
紧接下来,再引导学生完善下面的表格:
用这样的列表法,可以把题目中所含的未知量和已知量清晰明了地呈现出来,便于理解题意,从而列出方程。对于数量繁多、关系复杂的应用题更应采用这样的列表分析法。
再看下面的例题:
某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,面市后果然供不应求。商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购进的数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了4元。商厦销售这种衬衫时每件都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,在这两笔生意中,商厦共盈利多少元?
教学时可设置下列的问题:
1. 问题的对比方式是什么?(第一批销售和第二批销售)
2. 与销售问题有关的数量有哪些?(进货量、进货单价、进货总额、销售量、销售单价、销售总额、利润等)
3.上述数量之间有什么关系?试用等式表示。
它们之间的关系是:
①进货单价=进货总额 ÷ 进货量
②销售总额=销售单价×销售量
③第二进货量=2×第一批进货量
④利润=销售总额-进货总额
4. 这个问题中已知数量是什么?未知数量是什么?应该直接设未知数,还是间接设未知数?(已知两批进货总额分别是80000元和176000元、两批的销售单价都是58元/件;要求的未知数是总利润,但不方便直接设这一未知数,应间接设购进的第一批衬衫为x件)
5. 试用列表分析的方法表示上述有关的数量关系。(表略)
6. 问题中的哪一个句子揭示了由已知到未知之间的相等关系?试用等式表示。(第二批的进货单价比第一批的贵4元;第二批的进货单价减第一批的单价等于4元)
对于这样一道数量繁多、数量关系复杂的应用题,如果没有教会学生掌握有效的读题、审题、分析和思考的方法,学生的审题过程便容易陷入漫无目的的左思右想的境地,最终没法理清题目的数量关系,从而不能正确列出方程。
4.列方程解应用题 篇四
【例1】水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍,如果每天卖白兰瓜40个,西瓜50 个,若干天后卖完白兰瓜时,西瓜还剩360个。水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个?
【例2】有甲、乙两桶油,若从甲桶倒入乙桶15千克,则两桶油质量相等;若从乙桶倒入甲桶48千克后,则甲桶油是乙桶油质量的4倍。甲桶原来有油多少千克?
【例3】甲乙丙三人,甲的年龄是乙的2倍时,丙是20岁,当乙的年龄是丙的2倍时,甲35岁,那么甲65岁时,丙是多少岁?
【例4】甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问,多少年前,甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍?
【例5】甲、乙、丙、丁四个人组成代表队参加数学比赛,甲得了88分,丙得了85分,丁得了90分,乙的分数比四个人的平均分多4分。问乙的成绩是多少?
【例6】414是三个数的和,这三个数分别能被5、6、7整除,所得的商相同。问;这三个数分别是多少?商是多少?
【例7】小余买了5元、1元2角、8角的三种邮票共20张,总值43元6角,其中5元和1元2角的邮票张数相同。问:小余三种邮票各购多少张?
【例8】某校五、六年级师生秋游去公园划竹筏,若每筏坐12人,则少3个竹筏;若每筏坐14人,则多出4个竹筏。问:公园一共有几个竹筏?五年级师生共多少人?
【例9】一架飞机所带燃料最多可飞行15.75小时。飞机去时顺风,飞行速度每小时1500千米,返回时逆风,速度是每小时1200千米。问:这架飞机最多飞出去多少千米就要往回飞?
【例10】一个三位数的数字是由大到小的顺序排列的三个连续整数,这个三位数除以3所得的商比这个三位数的百位数与个位数交换后所得新的三位数小238,求原来的三位数。
【例11】东西两镇相距3450米,甲、乙从东镇,丙从西镇同时出发相向而行,甲、乙、丙速度分别是每分钟45、50、60米,那么多少分钟后乙正好在甲、丙的中间?
【例12】小余买两种练习本若干本,单价分别是1元和1元5角,共付出12元,问:两种本子各买了多少本?
消去法解题
【例1】甲买了8盒糖和5盒蛋糕共用去171元,乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。每盒糖和每盒蛋糕各多少元?
【例2】小明买了3只小鸭,7只小鸡和1只小兔,共付15.9元;小豪买了4只小鸭,10只小鸡和1只小兔共付了21元。如果小兰只买小鸭、小鸡、小兔各1只,则应付多少元?
【例4】8头梅花鹿和13只羊每天共吃青草182千克,13头梅花鹿和8只羊每天共吃青草217千克。问:1头梅花鹿和1只羊每天各吃青草多少千克?
列方程专项练习
1、一条鲨鱼头长3.5米,身长等于头长加尾长,尾长等于头长加身长的一半。问:这条鲨鱼有多长?
2、一道除法算式中,商是除数的7倍,除数是余数的4倍,商与除数、余数的和是528。问:被除数是多少?
3、用绳子量井深,将绳子2折则多出井外9米,将绳子3折则多出井外0.5米。问井有多深?
4、商店里有一批服装,卖掉90套女装后,剩下的服装中,男装是女装的2倍,又卖掉378套男装后,剩下的女装是男装的5倍。问:商店里原有男、女装各多少套?
5、一个两位数,十位上数字比个位上数字少2,如果十位上的数字扩大3倍,个位上的数字减去3,所得的两位数比原来的数大57,求原来的两位数。
6、五年级组织爬山活动,上山用了3小时到达离山顶还有22.5千米处,如果从山顶沿原路下山,就要用4小时,已知下山的速度是上山的2倍,问:从山脚到山顶的山路有多长?
7、王师傅加工一批零件,如果每天加工75个,就可以比原计划提前4天完成任务;如果每天加工50个就会比原计划推迟3天完成。王师傅希望能比原计划提前3天完成,他每天应加工多少个?
8、五年级组织去郊外活动,共有师生336人准备租车前往,现有56个座位的大客车和28个座位的小客车若干辆,要使每辆车都满座,问:需大、小客车各多少辆?
9、已知蜘蛛有8条腿,蝴蝶有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和一对翅膀。现有三种小虫共43只,共有294条腿和39对翅膀。问:每种小虫各有几只?
10、小明有面值分别为拾元、伍元、壹元的人民币49张共211元,拾元的张数比伍元的少8张。问:小明有拾元、伍元和壹元的各多少张?
11、有大兔、中兔和小兔共97只,一餐午饭共吃掉蘑菇854个,已知每只大兔子吃13个,每只中兔子吃9个,每只小兔子吃6个。已知中兔比大兔多4只。问:兔场有大、中、小兔子各多少只?
12、甲仓库有大米76吨,乙仓库有大米46吨,现在甲仓库每天进大米5吨,乙仓库每天进大米29吨,多少天后乙仓库的大米是甲仓库的3倍?
13、同学们乘车郊外游玩,如果每辆车坐60人,就余下25人的座位;如果每辆坐55人,就空出10人的座位。问:车有多少辆,有多少同学?
14、五(1)班甲组同学擦玻璃,如果每人擦12块,还剩18块;如果每人擦14块,还剩6块。问:每人擦多少块正好擦完?
15、果蔬农场将855千克的圣女果分装在大小两种纸箱里,每只大箱装6千克,每只小箱装4.5千克。装箱后清点箱数,得知小箱比大箱的3倍还多8箱。问:一共装了多少大箱?多少小箱?
16、牧场上的青草每天匀速生长,已知这片草可供15头牛吃20天,或者供84只羊吃10天,如果4只羊吃草量相当于1头牛的吃草量。那么现有9头牛和96只羊一起吃,可以吃几天?
17、一个六位数的左端数字是1,如果把左端的数字1移到右端,所得的新数是原数的3倍,求原数是几?
18、兔妈妈给小兔们分蘑菇,如果每只小兔分6个,就会多出48个蘑菇;如果每只小兔分8个蘑菇,就有一只小兔分不到。问:一共就有多少蘑菇?
19、果园里有梨树若干棵,苹果树是梨树的3倍。如果每天给15棵苹果树和9棵梨树修枝,当梨树全部修枝后,还剩96棵苹果树没有修枝。问:果园里有苹果树、梨树各多少棵?
20、一个两位数,各位数字之和的4倍正好比这个数少9,这个两位数最大是多少?
21、运一批西瓜,如果用2辆大卡车和6辆小卡车运,15次可以运完;如果用9辆大卡车和5辆小卡车运,5次可以运完。现在只有4辆小卡车运,问:多少次可以运完?
22、学校教务处购买2台打印机和10个U盘共用去2360元,如果用一台打印机换回8个U盘,可以少花62元。问:打印机和U盘单价各是多少?
23、有一个两位数,十位数字比个位数字大2,如果把个位上的数字与十位上的数字对调,所得的两位数比原数小18,求这个两位数是多少?
24、三个连续自然数,它们的和为108,求这三个数。
5.《列方程解应用题》教案 篇五
执教:光泽县杭西小学
龚志华
教案背景:
复习课老师们都不爱上,因为内容要自己设计,又都是旧知识,怕孩子学起来没有积极性。为抛砖引玉我决定还是引导老师上上这类型的课,引出框架激起老师们的一些灵感。其次是针对我校六年级学生对列方程解应用题掌握起来有一定的难度这一问题,我们把《列方程解应用题》作为一个小专题。由我主备这节课,各位老师积极参与并通过发帖的方式发表自己的意见和建议,然后我针对大家的宝贵建议对教案进行整改,最后由我亲自执教后再进行反思。
教学内容:
北师大版教材小学数学六年级下册总复习《列方程解应用题》专题。教材分析:
这部分内容主要教学列方程和解方程。本节课以寻找等量关系为切入点,以算术解与列方程解对比为主线,让孩子感受到列方程解应用题的思路很顺,只要能找到等量关系,方程就不难列出,从而激发兴趣让孩子入情入境,达到教学目标。
教学目标:
1.初步学会设一个未知数,列方程解答稍复杂的问题。2.理解列方程解决问题的步骤,正确的进行解答。
3.培养学生的分析、概括能力,培养学生的数学应用意识。教学重难点: 找等量关系。教学流程: 课前互动
课前教师出一个字谜:这个字由横和竖组成,横的数量是竖的数量的3倍,打一个字。学生猜出后,教师引导学生观察发现从字谜里能找到等量关系式这样的数学知识。
一、创设情境,激情引趣
(出示足球)教师和学生通过谈话引入本课,再引导学生观察足球上的花纹有什么特点?学生说出:足球上的白色皮是六边形,黑色皮是五边形。教师出示数学信息:白色皮共有20块,比黑色皮的2倍少4块。学生根据数学信息提出数学问题:黑色皮有多少块?
二、自主探究,体验新知
1、弄清题意,画线段图
从学生提出的问题入手“黑色皮有多少块?”通过教师的适当引导,使学生明确题中的“白色皮比黑色皮的2倍少4块”这一数学信息是关键,它表示了黑色皮与白色皮之间的关系,同桌合作试画线段图后,学生讲解线段图的画法,教师作适当的引导和补充。
2、找等量关系,列方程。
让学生根据线段图,找出题目中的等量关系式并列出对应的方程。(1)黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数。2X-4=20(2)黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4.2X-20=4(3)黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4.2X=20+4 学生独立思考后写在学习单上,教师巡视做个别指导,指名学生板演,讲解。
3、解方程,展示交流。
学生独立思考稍复杂方程的解法,再进行全班展示交流,订正。学生讲解解方程的步骤。教师以参与者的身份加入,提示验算。
(1)先把2X看成一个整体 2x-4 =20 先求2x 的值 2x-4+4 =20+4 得到2x的值,就可求出X的值 2x =24 X=12(2)先把2X看成一个整体 2X-20=4 先求2x 的值 2X-20+20=4+20 2X=24 X=12
4、总结概括列方程解应用题的一般步骤。先由学生独立总结汇报,全班交流订正。列方程解应用题的一般步骤:
1、弄清题意,设出未知数,用X表示。
2、找出题中的等量关系,列出方程。
3、解方程。
4、验算并写答语。
三、巩固新知 拓展应用
1、根据下列句子说出题目中的的等量关系式。故宫的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米。猎豹的速度比大象的2倍还多30千米。
地球绕太阳一周的时间比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。
2、先画线段图,再根据线段图找出所有等量关系式并列方程解下题。
世界上最大的洲是亚洲,最小的洲是大洋洲,亚洲面积4400万平方千米,比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米?
四、回顾新知,全课小结 根据学生的特点,师生共同小结.《列方程解应用题》教学反思
《列方程解应用题》也就是稍复杂的方程。这节课担负着教学列方程和教学解方程的双重任务,也是学生学习的难点。我们教师经常会觉得列方程解应用题是顺向思维,比孩子们之前一直用的算术方法也就是逆向思维简单多了,可是站在孩子们的角度,我认为学生在刚刚接触列方程解应用题时,对于一部分接受慢的孩子来说应该是很难的,因为前四年的数学学习中,他都是逆向思维的,突然我们学到了方程,就告诉他们说这是顺向思维,这样的方法简单,孩子们可能一时转不过这个弯来,并不认为这样的方法简单,所以我认为应该让学生在逐渐慢慢掌握并能灵活运用方程来解应用题的过程中自己去体验到用方程来解应用题是很简单。
下面简单谈一谈上完这节课后的想法: 第一个环节:创设情境,激情引趣
先出示学生熟悉的足球,再以谈话引入本节课,从而自然而然的进入学习当中。学生通过观察足球上的花纹,不仅知道了数学知识,还感受到了令一些数学家、建筑学家和化学家着迷完美的球形结构,从而唤起学生的求知欲望。
第二个环节:自主探究,体验新知
其中包括4个小活动:
1、弄清题意,画线段图;
2、找等量关系,列方程;
3、解方程,展示交流;
4、总结概括列方程解应用题的一般步骤。
在这些活动中我都是以参与者的身份,融入到学生当中,力求真正做到以学生为主体,教师为主导。留给学生足够的时间和空间去自主探究,合作交流。把学生推到主动位置,放手让学生自己学习。在师生,生生之间的学习交流中获取知识,养成倾听他人意见的习惯。从而培养学生分析概括能力和精准的数学语言表达能力。
第三个环节:巩固新知 拓展应用
有了前面的自主探究,展示交流的基础,再通过此环节的师生、生生交流、讨论,尽量使学生始终在积极的状态下主动地理解题中数量之间的关系。
第四个环节:回顾新知,全课小结
通过小结,教师可以全面了解学生的学习历程,更关注了他们在教学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我建立信心。
通过网络研讨以及数学组内成员坐下来面对面的研磨本节课,我感觉收获了很多,对于这样的小专题课应该怎样上,心里有了一个明确的方向。以后的教学中,我会更加努力,认真,踏踏实实和孩子们一起走好每一步。
《列方程解应用题》说课
一、对教材的分析
北师大版六年级下册总复习中的列方程解应用题是对小学中列方程解应用题方程的一次复习总结。对此类知识共分四个层次,首先教学比较容易的两步计算的应用题,其次教学两、三步计算的应用题,本课内容是第三个层次,第四是用方程和算术方法解应用题的比较。列方程解应用题,主要是解决用除法解答、“和倍”和“差倍”问题和相遇问题三类题型。在算术解中,由于是逆向思考题,解法特殊,不易掌握,现在用方程来解,不仅思路较简单,思路统一,既可减轻学生负担又提高了解应用题的能力,是今后小学学习分数等应用题的基础,也是今后到中学继续学习代数方程解应用题所必须具备的知识,必须重视这部分内容的教学。
本节课的重点是正确设未知数和列出方程,关键要找出等量关系,列方程也是教学的难点。
二、对教学方法的选择
列简易方程解应用题是中学列代数方程解应用题的基础,选择教学方法时,要注意中小学教学的衔接。
本节课首先要考虑正确运用迁移原理,这对中、小学的学习都将具有积极作用。在准备阶段的练习题中,不论是数量关系和解题的方法对学习都具有迁移的作用,利用这一原理可引导学生解题,这既能培养迁移推理能力,也能促使学生养成独立思考的习惯。
其次,由于小学生仍处在从形象思维向抽象思维过渡的关键时刻,所以要考虑怎样做好这个过渡,在教学中采用画线段图帮助分析数量关系。线段图能使数量关系明显地呈现出来,有助于帮助学生设未知数,找等量关系和列出方程。
第三还要考虑学法指导。本课要教会学生阅读、分析应用题的方法、验算的方法,从不同角度思考问题的方法。在教学检验方法时,采用阅读的方式,让学生边读边想并说出两个检验式子的含义与作用,从中悟出检验的方法。
三、对教学环节的安排 课前互动
课前教师出一个字谜:这个字由横和竖组成,横的数量是竖的数量的3倍,打一个字。学生猜出后,教师引导学生观察发现从字谜里能找到等量关系式这样的数学知识。
【设计意图:通过一个小互动,既消除了学生紧张的情绪,又复习了前面学过的知识,同时激发起学生的学习兴趣】
一、创设情境,激情引趣
(出示足球)教师和学生通过谈话引入本课,再引导学生观察足球上的花纹有什么特点?学生说出:足球上的白色皮是六边形,黑色皮是五边形。教师出示数学信息:白色皮共有20块,比黑色皮的2倍少4块。学生根据数学信息提出数学问题:黑色皮有多少块?
【设计意图:以学生熟悉的事物谈话引入本节课,学生通过观察足球上的花纹,不仅知道了数学知识,还学到了数学课本以外的知识,从而唤起学生的求知欲望。】
二、自主探究,体验新知
1、弄清题意,画线段图
从学生提出的问题入手“黑色皮有多少块?”通过教师的适当引导,使学生明确题中的“白色皮比黑色皮的2倍少4块”这一数学信息是关键,它表示了黑色皮与白色皮之间的关系,同桌合作试画线段图后,学生讲解线段图的画法,教师作适当的引导和补充。
2、找等量关系,列方程。
让学生根据线段图,找出题目中的等量关系式并列出对应的方程。(1)黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数。2X-4=20(2)黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4.2X-20=4(3)黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4.2X=20+4 学生独立思考后写在学习单上,教师巡视做个别指导,指名学生板演,讲解。
3、解方程,展示交流。
4、总结概括列方程解应用题的一般步骤。先由学生独立总结汇报,全班交流订正。列方程解应用题的一般步骤:
1、弄清题意,设出未知数,用X表示。
2、找出题中的等量关系,列出方程。
3、解方程。
4、验算并写答语。
【设计意图:为了学生更好的理解题目中数量之间的关系,教师放手让学生通过生生合作,画出线段图,把学生推到主动位置,放手让学生自己学习。在师生,生生之间的学习交流中获取知识,养成倾听他人意见的习惯。从而培养学生分析概括能力和精准的数学语言表达能力。】
三、巩固新知 拓展应用
1、根据下列句子说出题目中的的等量关系式。故宫的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米。猎豹的速度比大象的2倍还多30千米。
地球绕太阳一周的时间比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。
2、先画线段图,再根据线段图找出所有等量关系式并列方程解下题。
世界上最大的洲是亚洲,最小的洲是大洋洲,亚洲面积4400万平方千米,比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米?
【设计意图:有了前面的自主探究,展示交流的基础,再通过此环节的师生、生生交流、讨论,学生始终在积极的状态下主动地理解题中数量之间的关系。】
6.怎样学好列方程解应用题 篇六
(1)列方程解应用题的步骤
①弄清题意,找出未知数并用x表示;
②找出应用题中数量间的相等关系,列方程;
③解方程;
④检查,写出答案。
(2)列方程解应用题的关键
弄清题意后,找出应用题中数量间的相等关系,恰当地设未知数,列出方程。
(3)运用一般的数量关系列方程解应用题
①列方程解加、减法应用题。如:
甲乙两人年龄的和为29岁,已知甲比乙小3岁,甲、乙两人各多少岁?
数量间的等量关系:
甲的年龄 + 乙的年龄 = 甲乙二人的年龄和
解:设甲的年龄是x岁,则乙的年龄为:(x+3)岁。
x+(x+3)=29
x+x+3=29
2x=29-3
x=26 2
x=13……甲的年龄
13+3=16(岁)……乙的年龄
答:甲的年龄是13岁,乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。如:
学校图书馆买来故事书240本,比科技书本数的3倍多15本,买来科技书多少本?
科技书的本数×3+15 = 故事书的本数
解:设买来科技书x本
3x+15=240
x=75
答:买来科技书75本。
(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系,列方程解应用题
①一长方形的周长是240米,长是宽的1.4倍,求长方形的面积。
(长 + 宽)2=周长
解:设宽是x米,则长是(1.4x)米。
(1.4x+x)2=240
2.4x=240 2
x=120 2.4
x=50……长方形的宽
1.4=70(米)……长方形的长
50=3500(平方米)
答:长方形的面积是3500平方米。
②一个数的小数点向左移动一位后,比原数小了11.25,原数是多少?
强化训练——列方程解决问题
1、甲乙两桶油,甲桶里有油45千克,乙桶里有油24千克,问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里,才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍?
7.列方程解应用题教学的体会 篇七
1.受小学算术法思维定势的影响, 不习惯于用代数法来分析和处理问题, 且分析能力较弱。
2.不知道怎样寻找相等关系, 或者有时虽然找到了相等关系, 但仍列不出方程。
3.在一个问题里含有两个或两个以上未知数时, 不知道该怎样选择一个未知数来设元, 审题、分析能力较差。
为了突破上述难点, 在实际教学中, 我们要不断探索, 改革教学方法, 把数学教育与素质教育有机结合起来, 挖掘学生的潜力, 激发学生学习的积极性和兴趣性。我在教学中作了如下安排。
一、通过对比让学生认识到代数法的优越性
初学列方程解应用题时, 学生对应用题仍习惯于用算术法, 而对用代数法来分析和解决应用题感觉很不适应。因此在实际教学中, 我首先通过选择典型的例题分别用算术法和代数法解答, 然后指出两种方法的特点, 并让学生进行比较, 在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。
例如:甲乙两列火车从相距350千米的两地同时出发相向而行, 甲列车每小时行30千米, 乙列车每小时行40千米, 问几小时后两列火车相遇?
用算术法解:
(1) 求出两列火车的速度和为每小时 (30+40) 千米;
(2) 再求出两列火车一共行驶的路程350千米;
(8) 根据公式求出火车行驶的时间为350/ (30+40) =5 (小时) 。
用代数法解, 按列方程解应用题的一般步骤讲解:
(1) 仔细审题, 理解题意, 找出相等关系。
两列火车出发时的距离及它们的速度, 用字母X表示两火车相遇时所用的时间。
(2) 正确找出能表示题目的相等关系:甲火车行驶的路程+乙火车行驶的路程=两火车出发时的距离。
(3) 根据相等关系, 列出必要的代数式:甲火车行驶的路程为30X千米, 乙火车行驶的路程为40X千米, 即列出方程30X+40X=350。
(4) 解这个方程:X=5。
(5) 写出答案 (略) 。
事实上, (1) 与 (2) 式是相同的, 但 (1) 式是从要求的数值反推回去, 是由因导果的综合法, 它要求找出一个能用四则运算符号把已知数联系起来的综合运算式子, 这样难于思考, 而且一次性地计算出问题的结果来, 学生也难以做到。而 (2) 式是利用未知数X, 将有关的量用含未知数的代数式表示出来, 然后依题意列出方程, 最后将未知数求出来, 这是执果索因的分析法, 便于思考, 易于列式, 且将列方程与解方程分开进行, 可以分散难点, 化难为易, 从而体现出代数法的优越性, 促使学生迅速适应并掌握代数法, 顺利地实现从算术法到代数法的飞跃。
二、教会学生寻找出相等关系的方法
仔细分析一个列方程解应用题的一般步骤可以发现, 列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出相等关系”来。相等关系有两类:一类是题目中给出的条件等量关系, 这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的, 属于“动态”问题, 另一类表示各种量之间内存规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中主要量在一般情况下处于稳定状态, 属于“静态”问题。因此, 寻找相等关系的一般方法有如下两种。
1.对于“动态”问题中的相等关系, 可在发生变化的事物中找, 对于发生量变的事物, 可以从“量”的方面来找, 也可以从“质”的方面来找。如应用题中的和、差、倍、分问题, 等积变形问题, 追及问题, 相遇问题, 货物调配问题, 等等, 都可以从量的方面按发展的顺序找到相等关系。
例如:有含盐15%的盐水20千克, 要使盐水含盐10%, 要加水多少千克?
分析:这是一个溶液稀释问题。在这个题目中, 由于原来的盐水中只加入了水, 没有加盐, 因此盐水所含盐的重量在加水前后是没有变化的, 这就是说该应用题中含有下面的一个相等关系:加水前含盐重量=加水后含盐重量。
2.对于“静态”问题中的相等关系, 可在事物之间的内在联系中找到相等关系, 因为处在“静态”问题中的几个事物之间, 必然存在着一种数量上的联系, 我们要根据这种数量上的联系找到相等关系。
例如:一个两位数, 十位数上的数比个位上的数小1, 十位与个位上的数的和是这个两位数的1/5, 求这个两位数。
分析:这道题中含有这样的一个相等关系:十位上的数+个位上的数= (1/5) ×两位数。
三、使学生掌握解应用题常用的分析方法
1. 代数式法。
在正确分析题意的基础上, 将题目中的数量关系, 各数量之间的关系, 用代数式依次表示出来, 再根据各代数式之间的内存联系, 找到相连关系, 列出方程。此法常用于工程问题、比例调配问题、数字问题等。
2. 示意图法。
对于一些较直观的问题, 可将题目中的条件之间的关系, 用简单明了的示意图表示出来, 然后根据图示中有关的数量的内存联系, 找到相等关系, 列出方程。
3. 表格法。
将题目中的有关数量及其关系填在事先设计的一个表格内。然后再根据表格逐层分析, 找到各量之间的内存联系。从而找到相等关系, 列出方程。
对以上三种常用的分析方法。在教学时, 要通过具体题目教给学生具体的分析方法。通过训练, 要求学生能对具体问题作具体的分析, 并能灵活运用, 不要死记硬背。
四、通过典型例题, 引导学生逐步掌握设未知数的技巧
设未知数是列方程解应用题的第一步, 也是至关重要的一步。在一个题目中, 如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时, 到底选哪个未知数来设元, 初学者往往难以掌握, 教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲, 设未知数有以下两种方法。
1. 直接设元法。
即在题目里问什么, 就设什么为未知数。这样设元后, 只要能求出所列方程的解, 就可以直接得题目所求。在多数情况下, 都可以采用直接设元法来设元。
2. 间接设元法。
有些问题中, 若采用直接设元法, 则不易列出方程。这里可考虑采取间接设元法, 即通过间接的桥梁作用, 来达到求解的目的。例如, 按比例分配问题, 和、差、倍、分问题, 整数的组成问题, 等等, 均可用间接设元法来解元。
有些问题既可以采用间接设元法, 又可采用直接设元法, 从而形成一个问题的多种解法。对于这样的问题, 教师可要求学生将所有的解法都做出来, 然后从这些解法中选一种最优的解法。
总之, 在用方程解决问题的教学中, 不要以题形分类, 应强调对实际问题的数量关系的分析, 突出解题策略, 特别要借助图表, 示意图整体把握和分析题意, 寻找相等关系, 并注意检验和解释方程解的合理性。教学中还要给学生足够的探索和交流的空间, 鼓励学生多采用尝试、猜想、验证的方法去解决问题, 从而体现“做数学”的思想。
摘要:在初一代数教学中, 列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题, 它对于培养学生分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力具有重要的意义, 因此它是初一代数教学的重点。由于学生第一次接触用代数法来处理实际问题, 因此它又是一个难点。教师要为学生提供足够的探索和交流的空间, 鼓励学生多采用尝试、猜想、验证的方法去解决问题。在教学中应作如下安排:通过对比让学生认识到代数法的优越性, 教会学生寻找出相等关系的方法, 使学生掌握解应用题的常用三种分析方法, 引导学生掌握设未知数的技巧。
8.列方程解应用题复习课 篇八
关键词:
一、以中考题为例,说明“猜数,验证、列不等式”解方程的方法
2010年宁德中考题第23题:据宁德网报道:第三届海峡两岸茶业博览会在宁德市的成功举办,提升了闽东茶叶的国内外知名度和市场竞争力,今年第一季茶青(刚采摘下的茶叶)每千克的价格是去年同期价格的10倍。茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响,第一季茶青产量为198.6千克,比去年同期减少了87.4千克,但销售收入却比去年同期增加8500元。求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元?① 方程是什么?② 在解决哪一类问题时,使用方程?③ 使用方程解决问题的步骤
1. 找出未知信息、已知信息。
①这道题目中涉及了茶叶价格,产量,收入三个方面的数据,根据今年第一季度和去年同期的产量,可以计算出去年第一季度产量:198.6+87.4=286(千克)
②今年茶叶价格是去年价格的10倍。③今年销售收入比去年多8500元。
2.探索未知信息和已知信息的数量关系。
在表格中列出未知信息和已知信息,见表 。从表中可以看出有四个未知信息:去年单价,今年单价,去年收入,今年收入。对于学生来讲,会比较困惑,应该设哪个未知量为x?
通过观察,我们发现用单价组数据表示收入组数据的公式是:单价×产量=收入。而用收入组数据表示单价组数据的公式是:收入÷产量=单价。发现第一个公式形式较简单。因此我们选择在单价组中设未知数。同理,可知用去年的价格表示今年的价格较简单,所以设去年的单价为x元。
3.列方程。部分同学对列方程的有一种懵懵懂懂、无处下手、的感觉。我在课堂上,告诉学生可以把列方程看是一种猜未知数并确保猜到的数据是可靠有效的游戏。以本题为例,猜未知数列方程的步骤如下:① 猜未知数的数值。如果让同学们来猜未知数(去年的价格)的具体数值。有的同学会直接猜简单的数字,例如1元/千克。② 根据未知数的值计算其他未知数的值。接下来,我们根据去年的价格1元/千克进行计算。求出其余三个未知量。
今年价格:1×10=10(元/千克)
去年收入:1×286=286(元)
今年收入:10×198.6=1986(元)
③ 检验未知数的值是否可靠。根据猜的数值计算得到的今年年收入是不是比去年收入多8500元呢?
1986-286=1700≠8500(元)
④综合以上算式,可得到一个不等式:
1×10×198.6-1×286≠8500
为什么,得到的是一个不等式呢?这是因为我们猜得这个数据不可靠,如果猜多次,很花费很多时间,效率比较低,那么怎么才能确保猜对呢?我们就把去年茶叶单价用x表示。这时用x替换上面不等式中的数字200。即可得到新的算式,因为x是正确的可靠的,所以不等式就变成了等式:
x×10×198.6-x×286=8500
4. 解方程,检验结果,作答。通过解方程,求出x=5,并将5代入方程,检验是否为方程的解,将5代入题目,检验是否为题目的正确结果。
二、“猜数、验证、列不等式”列方程解应用题方法的改进
在方程中含有多个未知信息时,我们可以选取某一个未知数的值为“1”。如果选取简单的未知数为“1”,则会使方程的形式简单,解方程较快。何谓“简单”呢?简单是指通过这个未知数计算其他未知数的算式简单,比如乘法比除法简单。例如本题中,利用单价计算收入比利用输入计算单价简单。简单也可以理解为这道题目中所有未知信息的起始点,例如本题中,去年的价格为所有未知信息的起始点。设原始未知信息(第一个未知的信息)为x,这样能使方程的形式更加简单。
三、小结
1.在使用方程解应用题时,可以使用验证猜的未知数是否正确的方式来列方程。具体步骤参照上题解题过程。采取这种方式列方程的好处在于:在无法直接根据已知、未知信息列出方程,或者找不出题目等量关系的情况下,选择猜其中一个未知数据的值,例如为“1”。然后,把“1”当成已知数据,计算其他未知数据,并验证是否符合题目的数据关系。如何符合,则会得到一个等式,则“1”为未知数的正解。大多数情况下,“1”并不符合题目的数据关系,则会得到一个不等关系。这个不等关系的源头是“1”,如果把“1”改为x,则可得到一个等式,这个等式即为表达题目等量关系的方程。
2. “猜数、验证、列不等式”列方程解应用题的方法使学生更能理解方程的本质和作用,这种方法弱化了列方程解应用题中强调的“找等量关系列方程”的过程,使得学生在“猜数,验证、列不等式”的过程中,轻松顺利的列出方程。
9.《列方程解应用题》说课稿 篇九
时间:2010-02-24 19:59来源:未知 作者:admin 点击:
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课题:列方程解含有两个未知数的应用题,人教版九年义务教育六年制第九册128页例6。
一、对教材的分析列方程解应用题是在第七册学习列出含有未知数的等式解一步计算应用题的基础上进行教学的。共分四个层次,首先教学比较容易的两步计算的应用题,其次教学两
课题:列方程解含有两个未知数的应用题,人教版九年义务教育六年制第九册128页例6。
一、对教材的分析列方程解应用题是在第七册学习列出含有未知数的等式解一步计算应用题的基础上进行教学的。共分四个层次,首先教学比较容易的两步计算的应用题,其次教学两、三步计算的应用题,本课内容是第三个层次,第四是用方程和算术方法解应用题的比较。列方程解含有两个未知数的应用题,是第一次出现在全国统编教材上。例6的内容,在算术中称为“和倍”和“差倍”问题,由于是逆向思考题,解法特殊,不易掌握,现在用方程来解,不仅思路较简单,而且这两类问题的思路统一,解法一致,既可减轻学生负担又提高了解应用题的能力,是今后小学学习分数等应用题的基础,也是今后到中学继续学习代数方程解应用题所必须具备的知识,必须重视这部分内容的教学。
本节课的教学目标是使学生初步掌握含有两个未知数的应用题的解题思路和方法,会解含有两个未知数的应用题;会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算;在教学解题思路的同时培养学生初步的分析、综合、比较的能力;在解题过程中进一步培养初步的类推和迁移的能力及养成独立思考的良好习惯。
本节课的重点是正确设未知数和列出方程,关键要找出等量关系,列方程也是教学的难点。
二、对教学方法的选择列简易方程解应用题是中学列代数方程解应用题的基础,选择教学方法时,要注意中小学教学的衔接。
本节课首先要考虑正确运用迁移原理,这对中、小学的学习都将具有积极作用。在准备阶段的练习题中,不论是数量关系和解题的方法对学习例6都具有迁移的作用,利用这一原理可引导学生直接去做例6后的“想一想”,这既能培养迁移推理能力,也能促使学生养成独立思考的习惯。
其次,由于小学生仍处在从形象思维向抽象思维过渡的关键时刻,所以要考虑怎样做好这个过渡,在教学中采用画线段图帮助分析数量关系。线段图能使数量关系明显地呈现出来,有助于帮助学生设未知数,找等量关系和列出方程。
第三还要考虑学法指导。本课要教会学生阅读、分析应用题的方法、验算的方法,从不同角度思考问题的方法。在教学检验方法时,采用阅读的方式,让学生边读边想并说出两个检验式子的含义与作用,从中悟出检验的方法。教完例6后引导学生想不同的解题思路,列出不同的方程,就是教学生如何从不同角度思考问题的方法。这些方法对今后继续学习数学是十分必要的。
三、对教学环节的安排本课教学分三个阶段。
第一阶段是复习旧知,为学习新知做好铺垫。
主要针对新授的内容和学生不习惯用方程解及感到列方程有困难等问题设计了三个教学环节。一是基本训练,进行列方程的训练,如,x的5倍与x的和
是80;根据题意把方程写完全的训练,如,果园里原有桃树x棵,杏树135棵,两种树一共有180棵。=180,=135;根据线段图列方程的训练,如,第二个环节是练习例6前的复习题,对学生再现了三年级的内容是为学习例6“架桥”.为学习新课予作准备。第三个环节是导入新课。从改变复习题中的问题和一个条件,将复习题变成例6。使学生感到数量关系并不生疏,但由于需要逆向思考,学生又感到难做,以激发学生学习动机,为学习新课提供良好的情感和认知的起点。(第一阶段需5分钟左右)
第二阶段是教学解答应用题的思路和方法,是教学的重点,也是难点。
按照列方程解应用题的一般步骤安排四个环节。一是审题。即,全面分析已知数与已知数、已知数与未知数、未知数与未知数之间的关系,画好线段图,找出已知数,并将其中的一个设为x,而另一个则根据题中的一个条件写成含x的代数式。解答例6就应先设桃树为x棵,根据杏树是桃数的3倍这一条件得出杏树为3x棵,画好的线段图如下:二是找出等量关系列出方程。前面设未知数时已使用了一个条件,现在用另一个条件来列方程。即根据桃树和杏树共180棵列出方程x+3x=180;也可根据桃树和杏树共180棵来设未知数,根据另一条件列方程。这时设桃树为x棵,杏树是(180-x)棵,列出的方程是180-x=3x;也可设杏树为x棵,根据杏树是桃树的3倍,得出桃树是13x棵,列出的方程是x+13x=180;也可根据另一个条件设未知数,即设杏树为x棵,桃树是(180-x)棵,列出的方程是x=3(180-x)。但后几种方程解起来不方便,有的方程目前学生还不会解,教学时可要求学生只列不解。这些方程的列出有利于全面掌握数量关系,也有利于掌握,先根据一个条件设第二个未知数,再根据另一个条件列方程的基本思路和方法。但不能要求全体学生都会列出,特别是中差生,只掌握书中的一种即可。列出这些方程后,学生自然会得出书中列出的方程容易解,为此,教育学生今后学习时,不仅要考虑列出的方程是否正确,还要考虑列出的方程是否易解的问题。
第四个环节是检验。虽不要求写在本子上或卷子上,但这是不可忽视的重要步骤,长期要求下去,就可使学生养成良好的检验习惯,增强责任心和自信心,那种做完题不知对错的做法是后患无穷的。(这个阶段需20分钟左右)。
第三阶段是巩固练习,安排三个层次。
一是巩固新知的练习,可做128页“做一做”中的题目。接着做“想一想”题目,让学生独立用解“和倍”题的方法解“差倍”题,完成知识的迁移。第二环节安排课堂上的独立作业(5分钟左右)让学生独立做129页练习三十一的第一、二题,(对较好的学生教师根据实际情况增加题目)做完之后要认真进行讲评、纠正错误和打开思维受阻之处。
10.列方程解应用题复习课 篇十
知识点睛
1.相遇问题:应加上括号
例题精讲
【例1】 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
【例2】 某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五?
【例3】 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间?
【例4】 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
【例5】 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
【例6】 已知某水池有进水管与出水管一根,进水管工作15小时可以将空水池放满,出水管工作24小时可以将满池的水放完,对于空的水池,如果进水管先打开2小时,再同时打开两管,问注满水池还需要多少时间?
【例7】 有一个水池用两个水管注水。如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开乙管,5小时注满水池。
(1)如果甲、乙两管先同时注水20分钟,然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满?
(2)假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放,多少小时才能把一空池注满水?
灵机一动
某车间加工30个零件,甲工人单独做,能按计划完成任务,乙工人单独做能提前一天半完成任务,已知乙工人每天比甲工人多做1个零件,问甲工人每天能做几个零件?原计划几天完成?
家庭作业
1.一项工程,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成,两人合作4天后,剩下的部分由乙单独做,需要几天完成?
2.单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
3.单独完成某工程,甲队需10天,乙队5天只能完成工作的,丙队需20天。开始三个队一起干,3天
31后甲撤出,剩余的工作乙丙一起完成。问:问甲撤出后乙丙一同工作了多少天?
4.一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了若干天(不存在两队同一天休息).从开始到完成共用了11天.问乙队休息了多少天?
11.列方程解应用题复习课 篇十一
列方程解应用题中寻找等量关系的方法很多,包括:①数量关系法:根据常见的数量关系(如:路程=速度×时间,工作量=效率×时间,利息=本金×利率等)、根据关键性语言(如:多、少、几倍、几分之几等)、根据题目中的不变量用代数式直接表示出来;②线示法:用线段将题目中的数量关系形象地表示出来,利用数形结合的思想进行数与形的转化,从而建立方程;③列表法:用表格把题目中的数量关系表示出来,挖掘题目中的隐含条件,建立方程;④图示法:利用整体图形把题目中的整体与部分的关系直观地表示出来,发现题目中的相等关系,建立方程等.这几种方法都是列方程解应用题中寻找等量关系的好方法,但是找等量关系列方程的实质就是抓住一个量,挖掘已知条件从两种角度表示同一个量,进行两次演算,即一个量,算两次.
1 一个量算两次的理论依据
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚在《数学的发现》中,给出了四个具体的解题模式:双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式.
其中笛卡儿模式来源于笛卡儿的“万能方法”.笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法”,即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题:第一,把任何问题都转化为数学问题;第二,把任何数学问题转化为代数问题;第三,把任何代数问题归结为解方程.波利亚指出,笛卡儿的设想在某些情况下并不适用,因此不能被看成是一种万能的方法;但是尽管笛卡儿的设想最后并未成功,仍然不失为一个伟大的思想.事实上,在波利亚看来,笛卡儿所给出的是一个十分有用的思维模式,而通常所谓的“代数方法”则可看成笛卡儿模式的典型例子.
波利亚对“笛卡儿模式”做了如下的概括:(1)要在很好地理解了问题的基础上,把问题归结为确定若干个未知的量;(2)用最自然的方式通盘考虑一下问题,设想它已经解出来了,把已知量和未知量之间根据条件所必须成立的一切关系式都列出来;(3)列出一部分条件,使得你能用两种不同的方式去表示同一个量,这样可以得出一个联系未知量的方程式.这样做下去最后就把条件分成了若干部分,从而得出方程式与未知量个数相等的一个方程组.
笛卡儿模式就是指通过“列方程、解方程”去解决问题,正如波利亚所指出的,列方程的关键就在于应当清楚地认识到“一个方程就是用两种不同的方式去表示同一个量”.[1]另外,在有多个未知量的情况下,我们又应当认识到:一个方程只表示了一个部分条件.对笛卡儿模式可以推广:“在条件的分款没有被翻译成一个方程,或甚至x1,x2,…,xn不是未知的数,而是任何类型的未知的事物的情况下,我们认为符号方程r(x1,x2,…,xn)=0也表示了有问题的条件所决定的,包含了指定未知量(这里把一般的未知事物统称为未知量x1,x2,…,xn)的一个关系.”[2]
2 例题分析
一个量算两次这种方法的优点是可以简化找等量关系,只要在题目中确定一个量,并用两种方法表示出来,中间用等号连接即可.
例1 一队学生去校外参加劳动,以4千米/时的速度步行前往.走了半小时,学校有紧急通知要传给队长,通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员要多少分才能追上学生队伍?
分析 本题属于行程问题,涉及的量有路程、时间和速度,根据一个量算两次的方法我们可以选择其中的某一个量进行列方程求解.其中通讯员追赶学生队伍所行时间是学生出发半小时后到被追赶上所用的时间;通讯员所行路程就是学生队伍总的行程;学生队伍的速度前后保持不变,为4千米/时.
解 设通讯员要x小时才能追上学生队伍.
在列方程解应用题的教学中,教师强调通过找等量关系来列方程,常常是通过抓住题目中的关键词或者关键句子来寻找等量关系.通过这种方法列方程解应用题,同学们列出的方程千篇一律,同时也没有理解方程的真正含义.在上述三个例子中,根据一个量算两次的方法来列方程,每道题都可以列出几个方程,而且每个方程都具有自身不同的意义.虽然方程有繁有简,有整式方程也有分式方程,但是方程左右两端的意义相同,是通过两次不同演算来表示同一个量的.
在列方程解应用题中,一个量算两次与找等量关系本质上是相同的.一个量算两次因为是用不同的方式表示同一个量,所以它肯定是相等的;而寻找等量关系建立方程,是通过挖掘题目中条件建立相等的关系.从例题中我们可以看到每道题根据基本量(如:路程、速度、时间,工作量、工作效率、时间等)的不同可以列出三个甚至更多的方程,而在传统的教学中老师往往根据自己的习惯寻找等量关系,往往仅就关键语句列出一个方程,既限制了学生的思考空间,又增加了学生列方程的难度.一个量算两次——这种列方程的方法既开阔了我们的思路,又为我们列方程解应用题提供了方便.
参考文献
[1] 郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2003.15.
[2] 波利亚.数学的发现(第一卷)[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1980.213.
[3] 陈林香.列方程解应用题时如何寻找等量关系[J].初中数学教与学.2006,(4):10-11.
[4] 曹术环,韩月芹.列方程解应用题中找等量关系的四种方法[J].数理化学习(初中版).2004,(3):11-12.
作者简介:刁颖,1983年10月出生,天津师范大学数学科学学院硕士研究生,专业是课程与教学论,主要研究方向是数学教育.
12.怎样列一元一次方程解应用题 篇十二
一、 审题
列方程解应用题需仔细认真读题, 弄清题意并抓住关键的语句, 找出问题中的已知数量有哪些, 要求的量是什么。
二、 设元
列方程解应用题时, 恰当地设元有利于寻找等量关系列方程, 列方程解应用题的基本设元方法有 (1) 直接设元:根据题目的要求直接设元, 即求什么就设什么; (2) 间接设元, 有些问题, 如果直接设元很难列出方程, 我们可以把既便于列方程 , 又与所求的量有一定转换关系的未知量作为元设出, 再由所设的元的值求出所求的量; (3) 设辅助元:有些问题所求的量只有一个, 但未知量却较多, 这时可以“设而不求”, 对结果从整体上考虑, 恰当地利用数量的关系求解。 (4) 按比例设元:若方程应用题是反映有关比例的问题的, 可以先按比例份数设元, 列方程求出每一份的数量, 再按比例求对应的量。 (5) 整体设元:在解决某些数学问题时, 可将待求式 (或待证式) 用一个未知数来表示, 然后根据题设条件求出这个未知数, 从而使问题获得解决。
三、找等量关系
列方程解应用题的关键是分析出实际问题的等量关系。 寻找等量关系一般有三种办法: (1) 从有关数量比较的关键语句中发现等量关系, 并以文字形式写出来 (如大、小、多、少、倍、分等) ; (2) 借助基本数量关系, 探讨数量之间的等量关系 (如路程= 速度×时间) ; (3) 注意变化中的不变量, 寻找隐含的等量关系 (如行船问题中两码头之间的距离, 静水速度, 水流速度不度等) 。
四、利用一元一次方程解决实际问题的常见题型
注:此表转下页
五、范例解析
现以部分题型为例, 分析如下:
例1 小华今年3岁, 她与她妈妈年龄的十分之一的和的一半恰好就是小华的年龄, 小华的妈妈今年多少岁?
解析:这是一个典型的和差倍分问题, 解题时要抓住关键性词语如十分之一的和、一半等, 建立等量关系。
解:设小华的妈妈今年x岁, 根据题意可得:
undefined
解得:x=30.
答:小华的妈妈今年30岁。
例2 一艘轮船, 逆流航行21千米所需的时间是顺流航行22千米所需的时间的1.5倍。已知水流的速度是4千米/时, 试计算轮船在静水中的速度。
解析:根据顺流速度=静水速度+水流速度, 逆流速度=静水速度-水流速度, 以及航行的时间关系可以得到方程。
解:设轮船在静水中的速度为x千米/时。
则由题意知:undefined
解之得:x=18 (千米/时) 。
例3 某缝纫师做成一件衬衫、一条裤子、一件上衣所用的时间之比是1 ∶2 ∶3 , 他用10 个工时能做成2件衬衫, 3 条裤子和4 件上衣, 那么他要做14 件衬衫、10 条裤子和2 件上衣共需多少工时?
解析:本题的关键是求解出每件衬衫、每条裤子、每件上衣各需要消耗多少工时, 因为做成它们所用的时间之比是1 ∶2 ∶3, 可以设这个缝纫师做一件衬衫需要x个工时、裤子需要2x 个工时、上衣需要3x 个工时;又因为他用10 个工时能做成2 件衬衫、3 条裤子和4 件上衣, 可知2 x + 3×2 x + 4×3x =10 , 便可解出x 的值, 进而求出本题所需要的解。
解:设缝纫师做一件衬衫需要x 个工时, 做一条裤子需要2 x 个工时, 做一件上衣需要3x 个工时, 根据题意可知:
2 x + 3 ×2x +4×3x = 10
解得:undefined
要做14 件衬衫、10 条裤子和2 件上衣共需:
undefined (工时) 。
答:做14 件衬衫、10 条裤子和2 件上衣共需20 个工时。
例4 一个两位数, 十位上的数字与个位上的数字和为11, 如果把十位上的数字与个位上的数字对调, 则所得新数比原数大63, 求原两位数。
解析:若直接设这两位数很难求解, 根据已知条件, 可间接设原来两位数的个位上的数字为x, 则十位上的数字为11-x.
解:设原来两位数的个位上的数字为x, 根据题意得:
x+10× (11-x) =10x+ (11-x) +63
解之得:x=2.
所以十位上的数字为9.
答:所求两位数为29.
例5 在甲处劳动的有27人, 在乙处劳动的有19人, 现在另调20人去支援, 使在甲处的人数为在乙处人数的2倍, 应调往甲、乙两处各多少人?
解析:设应调往甲处x人, 则调往乙处 (20-x) 人, 那么甲、乙两处的人数可列出下表:
解:设应调往甲处x人, 则调往乙处 (20-x) 人, 根据题意得:
27+x=2×[19+ (20-x) ]
解之得:x=17.
答:应调往甲处17人, 乙处3人。
例6 一个工程队承包甲、乙两项工程, 甲工程工作量是乙工程工作量的两倍, 前半个月全体工人都在甲工地工作, 后半个月, 工人分成相等的两组, 一组仍留在甲工地工作, 另一组到乙工地工作, 一个月后, 甲工程完成而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量, 如果每个工人的工作效率相同, 问这个工程队有多少工人?
解析:此类工程问题需要利用工程总量不变及两地工程量之间的关系。
解:设这个工程队有x 人, 每个人每个月的工作量是1 , 则甲工地工作量为undefined, 而乙工地的工作量为undefined, 依题意得:
undefined
解得:x = 8.
答:这个工程队共有8 个人。
例7 一年定期储蓄的利率为1.98%, 所得利息交纳20%的利息税, 如果某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后的利息为450元, 问储户存入多少本金? (精确到1元)
解析:由于利息=本金×利率×期数, 扣除其中20%为利息税后, 其余的80%即为储户所得利息。
解:设储户存入x元本金, 根据题意可得:
x×1.98%× (1-20%) =450
x≈28409 .
13.“列方程解应用题”的教学反思 篇十三
通挽镇大昌小学韦春锦
现在的小学数学教材十分注意将数学知识与生活实际紧密联系。内容的呈现注意体现儿童的已有经验和兴趣特点,提供丰富的与儿童生活背景有关的素材。如人教版式小学数学五年级上册第60页,关于警戒水位的问题。
本节课的教学目的是能让学生运用所学知识解决简单的实际问题,感受解简易方程与实际生活的密切联系,使学生初步掌握用列方程的方法解决实际问题的解题思路和方法;会把未知数的值代入已知条件看是否符合;在解决问题的过程中培养学生初步的分析、综合、比较的能力;在解题过程中进一步培养初步的类推和迁移的能力及养成独立思考的良好习惯。本节课是学生初次利用列方程解决实际问题,对学生来说有一定的难度,上完后,感觉有不少问题存在。首先我们应该知道,学生从具体的数过渡到抽象的用字母表示数,从用算术解决问题过渡到用方程解决问题,是认知学习方面的一个大转折。教学中除了让学生探究学习外,教师还要找到学生接受知识的关键点,从关键点切入,突破学生学习的难点,让学生顺利地过渡这个转折。下面是本人的几点粗略看法:
一、围绕等量关系,用字母表示数
用字母表示数是抽象的,初学用字母表示数的学生,还停留具体的数的层面上,运算的结果也还停留在具体的数字结果上。要用字母
表示数,要用字母表示运算结果,一时还不适应。因此,初学用字母表示数,用等量关系切入,突破学生学习的难点,是一个很好的办法。
二、抓等量关系,列方程解决问题
用方程解决问题,是学生解决问题方法上的一大转折。学生从算术解决问题转向用方程解决问题,在学习认知方面产生一定的障碍。在思维方面,受算术解决问题的影响,在运用方程解决问题的过程中,自然而然又会回到算术解决问题的思维过程。
因此用方程解决问题,要抓好二个关键点。
第一:分析题意,找出问题中的主要数量。分析主要数量是找“等量关系”的前提,因此弄清题意,找主要数量很重要。
第二:根据主要数量,找等量关系。“等量关系”是学生列方程解决问题的依据,是学生列出方程的突破口和关键点。
例如
P60例3,今天上午洪泽湖蒋坝水位14.14米,超过警戒水位0.64米,警戒水位多少米?
(1)主要数量:实际水位、超过水位、警戒水位
(2)等量关系:警戒水位+超过水位=实际水位x+
0.64=14.14(方程)
实际水位-警戒水位=超过水位14.14-x=0.64(方程)实际水位-超过水位=警戒水位14.14-0.64(算术)
三、教给方法,寻找“等量关系”
1.依据题目意思找“等量关系”
P60例3,今天上午洪泽湖蒋坝水位14.14米,超过警戒水位0.64米,警戒水位多少米
2.在关键句中找“等量关系”
3.在计算公式中找“等量关系”
(长+宽)×2=长方形周长
(上底+下底)×高÷2=梯形面积
速度×路程=时间
单价×数量=总价
四、抓方法比较,促进解决问题方法的分化
初学方程的学生,一开始算术解决问题干扰用方程解决问题;学习用方程解决问题之后,又回头干扰用算术解决问题。因此,学生用方程解决时,要善于进行算术解与方程解的比较,目的在于分化巩固
算术解决问题,分化优化方程解决问题,同时也让学生理解方程的顺向思维。
另外,在教学例3时,我还发现这样的问题,由于学生的认知有一定的局限性,学生对于什么是湖、大坝,甚至水库,堤坝都不知道是什么,给审题带来比较大的困难,又要重新向学生介绍有关湖泊、水库、堤坝等知识,最后为了让学生更好地理解,教师还结合学生常见的鱼塘、塘堤等学生熟悉的情境进行说明,学生才恍然大悟,由此可见,我们提供给学生的情境必须是学生真正熟悉的生活情境,要结合当地学生的认识水平,这才是有效的情境。第二就是备课一定要深入,不仅要熟悉教材内容、教法、学法,还要深入分析学生已有的知识情况,这样才能备好一节课,要吸取教训。
14.数学列方程解应用题的常用公式 篇十四
距离=速度·时间
时间距离速度=
速度距离时间=;(2)工程问题:
工作量=工效·工时
工时工作量工效=
工效工作量工时=;(3)比率问题:
部分=全体·比率
全体部分比率=
比率部分全体=;(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;(5)商品价格问题:
售价=定价·折·101,利润=售价-成本,%100×−=成本成本售价利润率;(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=31πR2h 方程和方程组
(一)基本概念
方程:含有未知数的等式.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义,要判断一个数是不是方程的解,可将这个数分别代入方程左右两边进行计算,如果左右两边相等,那么这个数就是方程的解.(如果要求把检验的过程写出来,同学们应注意格式)
解方程:求方程的解的过程.一元一次方程:含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1的方程.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知项的次数都是1的整式方程.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起构成的方程组.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值.(二)基本方法
方程的两种基本变形:⑴方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式,方程的解不变.⑵方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数,方程的解不变.解一元一次方程的一般步骤和方法及注意事项:
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
1.不要漏乘2.分子不是一个整体,去分母后应加上括号
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
不要漏乘括号里的项
不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
移项要变号
不要丢项
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)形式
字母及字母的指数不变
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解
不要把分子、分母搞颠到
解二元一次方程组:
⑴解二元一次方程组的基本思想是:消元
⑵解二元一次方程组消元时,常用的两种方法是:代入消元法和加减消元法.即:二元一次方程组一元一次方程
代入消元法的思路是:选择一个系数简单的方程变形,用一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后代入另一个方程通过消去一个未知数,从而进行求解.加减消元法的思路是:使两个方程中对应的同类项系数变成相等或(互为相反数),然后把两个方程相减或(相加),通过消去一个未知数,从而进行求解.(三)方程和方程组的应用
1.方程和方程组的应用主要体现在两个方面:⑴解决一些纯数学的简单问题.⑵解决实际问题(即列方程或方程组解应用题).其一般步骤主要是:
⑴理解题意(审题)
⑵把问题转化为方程或方程组(即建立方程或方程组的数学模型)
⑶解方程或方程组
⑷检验并作答
即: 问题方程(组)解答
2.解决实际问题的分析和抽象通常包括:
⑴设元(用字母表示适当的未知数)
⑵找出问题所给出的数量的相等关系
⑶分析题意中的数量关系,列出相等关系需要的代数式.上述过程,应当注意的是:设元有直接设元和简接设元,恰当的设元,会给建立方程(组)带来方便。分析相等关系以及数量关系时,可借助一些方法比如“列表法”、“图示法”等帮助分析。另外在实际解决问题时,上面三项的顺序也并非固定的。
3.解实际问题的常见题型及数量关系:
⑴行程问题:路程=速度×时间 ⑵工程问题:工作总量=工作效率×工作时间
⑶浓度问题:溶质=溶液×浓度
⑷利率问题:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数
⑸利润问题:利润=成本×利润率,利润=售价-成本
⑹价格问题:总价=单价×数量
⑺水流问题:顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度
此外还有:等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、„等。
应当注意的是:我们列出这些类型,并非让同学们按类型去解应用题,努力地去掌握分析问题的本领,才是学好的关健。
二、多边形
(一)最简单的多边形-三角形
1.三角形及有关概念
三角形:由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.三角形的外角:三角形一边的延长线与三角形的另一边组成的角.如图1,∠ACD是△ABC的一个外角.三角形的中线:连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段.如图2,AD是△ABC的中线,则BD=CD=BC
三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段.如图2,AE是△ABC的角平分线,则∠BAE=∠CAE=∠BAC 三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段.如图2,AF是△ABC的高,则∠AFB=∠AFC=90°或AF⊥BC.请你分别在一个三角形中,画它的三条中线、三条角平分线、三条高,想一想,你能发现结论?
2.三角形的分类
⑴按角分类:
(2)按边分类:
三角形的按角分类很重要,在解决一些有关三角形的问题时,我们常将三角形按角分类,进行讨论.3.三角形的一般性质
⑴三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边
三角形任意两边的差小于第三边
⑵三角形角之间的关系:
三角形内角的关系:三角形内角的和等于180°
三角形外角与内角间的关系:
相等关系:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
不等关系:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
⑶三角形的边与角间的关系 :
在三角形中相等的边所对的角也相等(即:等边对等角)
在三角形中相等的角所对的边也相等(即:等角对等边)
此外,三角形还具有稳定性.即:如果一个三角形的三边确定,则这个三角形的形状和大小就完全确定了.(二)多边形
1.研究多边形的有关问题常将多边形转化为三角形的问题,常用的一种方法是,从多边形的一个顶点出发作多边形的对角线,如图3所示,那么
⑴从n边形的一个顶点出发可作
条对角线.⑵从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形 分成 个三角形
此外,还可以怎样把多边形分割为三角形,请想一想?
2.多边形的内角和与外角和
⑴ n边形的内角和为:(n-2)—180°
⑵ n边形的外角和为:360°
注意:多边形的外角和是指:在多边形的每一个顶点处取一个外角相加,得到的和.3.正多边形的有关计算
正n边形的内角:方法一(n-2)—180°/n,方法二 180°-360°/n.正n边形的外角:360°/n..(三)多边形知识的一个应用:用正多边形铺地板
1.用多边形围绕一点拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是:几个多边形的内角相加为360°.2.用一种正多边形能铺满地面的是:正三角形、正方形、正六边形.3.用两种正多边形能铺满地面的常见组合是:⑴正三角形与正方形 ⑵正三角形与正六边形 ⑶正八边形与正方形 ⑷正三角形与正十二边形
三、轴对称
(一)轴对称
1.轴对称图形与轴对称的概念
⑴定义
轴对称图形:一个图形沿某条直线对折,对折的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.轴对称:把一个图形沿某条直线对折,如果它能够与另一个图形重合,就说这两个图形成轴对称.⑵区别和联系
区别:⑴ 轴对称是对两个图形说的,轴对称图形是对一个图形说的.⑵ 轴对称表示两个图形之间的对称关系,轴对称图形表示某个图形特性.联系:⑴ 定义中都有一条直线,都要沿这条直线折叠后重合.⑵ 可互相转化.把轴对称图形的两部分看成两个图形,就是轴对称;把轴对称的两个图形看成一个图形,就是轴对称图形.2.性质
⑴轴对称图形的对应线段相等,对应角相等.⑵轴对称图形的对称点的连线的垂直平分线,就是该图形的对称轴.⑶轴对称图形的对应线段或延长线相交,其交点一定在对称轴上(此条供了解).3.画法
如果图形是直线、线段、或射线组成时,那么在画它关于某条直线的对称图形时,只要画出图形中的特殊点的对称点,然后连结对称点,就可以画出关于这条直线的对称图形.画一个点的对称点分三步:作垂直---------顺延长--------取相等
(二)简单的轴对称图形
1.线段
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线
⑴线段是轴对称图形,对称轴是它本身所在的直线和它的垂直平分线.如图4所示.⑵线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图5,直线CD垂直平分AB,P是CD上任意一点,则PA=PB 做一做:任意画一个三角形,分别画出它三边的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的性质,你能得到什么结论?
.2.角
⑴角是轴对称图形,对称轴是它的角平分线所在的直线.如图6 所示
⑵角的平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.如图7,OC平分∠AOB,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,则PD=PE 做一做:任意画一个三角形,分别画出它的三条角平分线,根据角的平分线的性质,你能得到什么结论?
.3.等腰三角形
⑴定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.⑵性质:等腰三角形是特殊的三角形,一般三角形具有的性质它都具有,另外它还具有:
①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线,如图8.②等腰三角形两底角相等.(简称为:等边对等角)
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为:等腰三角形“三线合一”的性质)
怎样运用等腰三角形“三线合一”的性质呢?
在等腰三角形中,只要已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段中的其中一种线段,就可以得出这条线段也是另外两种线段.如图9,在△ABC中,下面的空格你能填出来吗?(括号里填根据)
Ⅰ.∵ AB=AC,AD⊥BC()
∴ ∠
=∠
,=
;()
Ⅱ.∵ AB=AC,AD是中线()
∴
⊥,∠
=∠
;()
Ⅲ.∵ AB=AC,AD是角平分线()
∴
⊥,=
.()
⑶识别:①方法一:根据定义,看一个三角形是否有两条边相等.②方法二:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称为:等角对等边)
4.等边三角形
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