初中数学实数问题

初中数学实数问题（11篇）

1.初中数学实数问题 篇一

人教版初中数学七年级下册第六章《实数》单元测试卷

一、单选题

在实数0.3,0, , ，3.14,0.123456…中，其中无理数的个数是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

化简的结果是( )

A. -4 B. 4 C. ±4 D. 无意义

下列各式中，无意义的是( )

A. B. C. D.

如果+有意义，那么代数式|x-1|+的值为( )

A. ±8 B. 8

C. 与x的值无关 D. 无法确定

在Rt△ABC中，∠C=90°,c为斜边，a、b为直角边，则化简-2|c-a-b|的结果为( )

A. 3a+b-c B. -a-3b+3c

C. a+3b-3c D. 2a

4、、15三个数的大小关系是( )

A. 4<15< B. <15<4

C. 4<<15 D. <4<15

下列各式中，正确的是( )

A. =±5 B. = C. =4 D. 6÷ =

下列计算中，正确的是( )

A. 2+3=5

B. (+)・=・=10

C. (3+2)(3-2)=-3

D. =2a+b

二、填空题

的算术平方根是________.

如果=2,那么(x+3)2=______.

的相反数是______，- 的倒数是______.

若xy=-,x-y=5-1,则(x+1)(y-1)=______.

若与|b+2|是互为相反数，则(a-b)2=______.

若=,那么的值是______.

(-)20xx・(+)20xx=______.

当a<-2时，|1-|=______.

三、解答题

计算：

(1)(+)(-)

(2)--2

四、填空题

若x、y都是实数，且y=++8，求x+3y的立方根.

五、解答题

已知(a+b-1)(a+b+1)=8,求a+b的值.

已知+|b2-10|=0,求a+b的值.

已知5+的小数部分为a，5-的小数部分为b，求：

(1)a+b的值;

(2)a-b的.值.

观察下列各式及验证过程：

验证：

=验证：

验证：

(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证;

(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2的自然数)表示的等式，并进行验证.

2.初中数学实数问题 篇二

【例1】方程2x2-3x-k=0有实数根, 求实数k的取值范围.

学生1:令Δ=9+8k≥0, 得k≥-89.

教师:看到有关方程的实数根的问题, 我们马上就会想到Δ, 但是如果稍作改变呢?

【例2】方程2x2-3x-k=0有2个正的实数根, 求实数k的取值范围.

教师不错实数根的正负可以结合韦达定理来解决, 如果再作改变呢?

【例3】方程2x2-3x-k=0在x∈[-1, 1]内有实数根, 求实数k的取值范围.

这时, 有些学生受了第2题思路的影响, 给出了这

在[-1, 1]内呢?能不能举例说明一下?

学生3:满足条件但这样的两个实根不在[-1, 1]内.

教师:很好, 方程在x∈[-1, 1]内有实数根不能推出两实根⇒

在[-1, 1]内, 所以前后不等价, 想想其他解法.

学生4:数形结合.令f (x) =2x2-3x-k, 结合该二次函数的图像, 得

教师:很好, 数形结合法是解决方程根的分布问题的通用办法, 如果再改呢?

【例4】方程2x2-3x-k=0在x∈ (-∞, -1]∪[1, +∞) 内有实数根, 求实数k的取值范围.

马上就有学生提出:不用考虑Δ, 因为f (-1) ≤0, f (1) ≤0这两个条件已经保证了二次函数的图像与x轴必然是两个交点.

教师:你说得很有道理.

教师 (归纳小结) :以上是二次函数与方程的联系, 通常先引入函数, 把方程的实根看作函数的图像与x轴的交点, 体现了数和形的结合.不过对于例3和例4, 同学们还能想到其他解法吗?

学生6:我记得以前老师在复习函数时讲过有两个参变量的问题可以分离参数, 这道题目应该也可以分离k与x, 比如例3, 可以令k=2x2-3x, x∈[-1, 1], 二次函数y=2x2-3x在[-1, 1]上的值域是所以k的取值范围也是

教师:回答得太好了, 分离参数法解决该问题更巧妙, 这是同学们一定要掌握的一种解题方法.

【例5】方程有且只有一个实数根, 求实数b的取值范围;

学生6: (有点不太确定) 两边平方后令Δ=0, 得

学生7:方程的根应该分布在[-1, 1]内, 所以这个解法不对.根的分布要分3种情况讨论, 有点麻烦, 我又想到了另一种解法———数形结合.等式的左边是斜率为1的直线, 右边是半圆, 所以该方程有且只有一个实数根的问题就是直线与半圆只有一个交点的问题, 通过数形结合, 得出b的取值范围是-1<b≤1或

教师:你说的这种方法是解决该问题的最恰当的解法.

学生那能不能分离参数为

教师:可以!但左边的函数图像简单了而右边的函数图像就难了, 所以两边要“扯平”一下, 不要过分倾向于某一边.下面我们来看2009年高考题浙江卷第22题的第 (1) 题:

【例6】已知函数f (x) =x3- (k2-k+1) x2+5x-2, g (x) =k2x2+kx+1, 其中k∈R.设函数p (x) =f (x) +g (x) .若p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 求k的取值范围.

教师:初看好像跟我们今天讲的内容不沾边, 但同学们试着分析一下.

学生9:函数p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 意味着方程p′ (x) =0在区间 (0, 3) 上有实数根, 但不能是重根, 否则函数p (x) 是单调函数, 就不符合题意了.

教师:你分析得非常有道理, 下面同学们可以根据学生9的分析来做这道题.

学生10:我是用数形结合法.p (x) =f (x) +g (x) =x3+ (k-1) x2+ (k+5) x-1=, p′ (x) =3x2+2 (k-1) x+ (k+5) , 因p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 所以p′ (x) =0在 (0, 3) 上有实数解, 且无重根, 从而p′ (x) ·p′ (3) <

2, 经检验也符合题意, 从而k∈ (-5, -2) .

学生11:老师, 我采用的是分离参数的方法.p (x) =f (x) +g (x) =x3+ (k-1) x2+ (k+5) x-1, p′ (x) =3x2+2 (k-1) x+ (k+5) , 因p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 所以p′ (x) =0在 (0, 3) 上有实数解, 且无重根, 由p′ (x) =0得k (2x+1) =- (3x2-2x+5) , 令t=2x+1, 有t∈ (1, 7) , 记h (t) =t+9t, 则h (t) 在 (1, 3]上单调递减, 在[3, 7) 上单调递增, 所以有h (t) ∈[6, 10) , 于是 (2x+1) +92x-1∈[6, 10) , 得k∈ (-5, -2], 而当k=-2时有p′ (x) =0在 (0, 3) 上有两个相等的实根x=1, 故舍去, 所以k∈ (-5, -2) .

教师:以上两位同学的解题的思想方法, 刚好概括了我们今天这节课的主题, 有关处理方程的根的问题的一般方法:数形结合或分离参数.

3.“实数”中的数学思想 篇三

一､分类思想

把实数分为有理数和无理数,就是分类思想,也称分类讨论思想.在解决问题过程中,将问题划分为若干个既不重复也不遗漏的小问题,然后一一解决的方法叫做分类讨论法.应用分类讨论可以起到两个作用,一是能使复杂､难于解决的问题简单化,二是当问题条件模棱两可时,通过分类讨论可以确定出准确的答案.

例1 已知a､b都是实数,其中一个是无理数,一个是非负整数,且 a+b=1.如果a+b存在最大值,求a､b的值.

解析:显然,b=1- a,所以a+b=a+1- a=(1- )a+1.

因为a+b存在最大值,而1- <0,所以a应有最小值.

如果a是无理数,则a不存在最小值,从而a+b也不存在最大值.因此,a是非负整数.

当a=0时,b=1,a､b都是整数,与已知条件不符.

当a=1时,b=1- ,此时a､b符合条件.

此时,a+b的最大值为- .

二､方程思想

在确定公园的宽度､梯子的高度时,课本上采用的是列方程求解的方法,这就是方程思想的运用.方程思想就是指构造方程模型解决有关问题.这种思想在解应用题时用得最多,但在几何中的运用也不容小看.

例2 图1是一模具的横截面,下面是一个正方形,上面是以正方形边长为直径的半圆.已知正方形的面积为10,求横截面的总面积.

解析:要求半圆面积必须先求出半径. 可以先设半圆半径为x,则正方形边长为2x.所以可以列出方程(2x)2=10.求得x= .所以半圆面积S1= x2= = .所以横截面总面积S= +10.

三､数形结合思想

“实数与数轴上的点一一对应”,说明任何一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示.反过来,数轴上任何一个点都可以表示一个实数.这种关系体现出来的就是数形结合的思想.“数”与“形”相辅相成,取长补短,正如我国著名数学家华罗庚所说,“数缺形时少直观,形无数时难入微”.因此,在解题中要充分利用图形的直观性和代数计算的精确性.

例3 已知实数a､b､c满足a<0

解析:要化简原式,必须先搞清楚里面四个代数式的值的符号,即a+b+c,a-b,b-c,c-a的符号.运用数形结合思想,在数轴上标出a､b､c的位置.首先,由a<0,b>0,得c>0.再根据它们绝对值的大小,在数轴上标出a､b､c的位置.如图2.

显然,a+b+c>0,a-b<0,b-c<0,c-a>0.

所以,原式=a+b+c-a+b-b+c-c+a=a+b+c.

四､整体思想

整体思想是指将零散的几部分作为一个整体进行处理的一种思想方法.这种思想方法的运用,可以使问题“化零为整”,干净利落地解决.常见的换元法实际上就是整体思想的具体体现之一.

例4已知a2+b2=10,ab=4,求a-b的值.

解析:如果先分别求出a､b的值,则有相当大的难度.分别把a-b､a2+b2和ab作为一个整体,由完全平方公式,得(a-b)2=a2+b2-2ab=10-8=2.所以a-b=± .

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

4.8年级数学实数复习教案 篇四

课型：复习课 授课人

级索中学 张明浩 授课时间：2012.9.29 第一节

教学目标： 1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；（重点）

2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；（难点）

3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；（重点）4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．（重点）

教法及学法指导

本节应用“自主学习，合作探究”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，解决问题的方法.课前准备（课件 三角板）教学过程

一、知识疏理,形成体系。（课前要求学生对本章知识进行总结）

师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．

生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．

开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是： ____开平方平方根算术平方根 乘方 开方____开立方立方根互为逆运算 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？

生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：

定义一个正数有两个平方平方根根,们互为相反数:性质0的平方根是0;开平方负数没有平方根.定义算术平方根正数a的正的平方根;互为逆运算 性质乘方开方0的算术平方根是0定义正数有一个正的立___方根;立方根开立方性质负数有一个负的立方根;0的立方根是0. 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．

生：我们是这样总结的： 1．分类

正有理数有理数0负有理数

实数无理数正无理数负无理数 2．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．

师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．

（此处，有些学生不会总结，课前可以帮助学生梳理知识。）

二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解）1．求下列各数的平方根：

（1）27；（2）25；（3）92．

5

2师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根．

5生：（1）是求9的平方根；

（2）是求5的平方根；（3）是求4的平方根． 由学生独立完成．

2．x取何值时，下列各式有意义．

（1）2x；（2）x21．

师：a在什么情况下有意义？

生：对于a，必须满足a≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数．

（1）2－x≥0；

（2）x2＋1≥0．

师：如何求出x的范围呢？

生：我们讨论后，得出如下结论：

（1）x≤2；

（2）不论x取什么实数，x2≥0，x2＋1＞0，即x的取值范围是：x为全体实数． 3．求下列各数的值：

（1）32；

（2）x22x1(x≥1)．

师：如何化简a2呢？

生：我们认为首先应考虑a2中a的范围．

（1）当a≥0时，a2＝a；

（2）当a＜0时，a2＝－a．

师：求下列各数的值，必须先确定a的范围． 生：因为3－π＜0，所以

32＝－(3－π)＝π－3．

师：如何化简x22x1呢？

生：将x22x1化为a2的形式，即x22x1x12

再考虑x－1的范围，由学生独立完成． 4．已知：|x－2|＋y3＝0，求：x＋y的值．

师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．

生：|x－2|和y3都是非负数．

师：两个非负数的和可能是0吗？ 生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0．

由学生独立完成．

师：哪些数为非负数呢？

生：实数a的绝对值，表示为|a|，|a|是非负数；实数a的平方，表示为a2，a2是非负数；非负实数a的算术平方根表示为a，a是非负数．

师：非负数有什么特点？

生：（1）几个非负数的和仍为非负数；

（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．

师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．

5．计算：5223（精确到0.01）． 师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？

生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、5，1.732代替3．

由学生独立完成．

1、、1、0.80108中，无理数的个数为_______个． 6．在实数2、0.373 师：如何判断一个数是无理数？

生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环． 7．|x|＜2π，x为整数，求x

师：|x|＝2π，x的值是多少？

生：当x＝2π，x＝－2π时，|x|＝2π，所以|x|＜2π时，x＝±2π．

师：|x|＝2π的含义？

生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．

师：|x|＜2π的含义呢？

生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．

师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？

生：

→

在如图所示的范围内，因为x为整数，所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－

1、－

2、－

3、－

4、－

5、－6． 师：非常好!

三、查缺补漏，归纳提升．

1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？

2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．

3．对于本章的内容你还有那些疑问？

四、作业

1．教科书第125页复习题7 2．助学

五、板书设计

第七章 实数

1．知识疏理 2.巩固训练 3.归纳提升

六、教学反思：1.学生在理解二次根式有意义的条件时需用不等式的知识，而不等式的知识还没有学习。

2.在估算时学生有时显得迷惑，老师要尽量少讲，让学生动手去计算，发现估算的方法。这样效果好，但是耗时量太大。

5.初中七年级下册《实数》教案优质 篇五

问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?

师：∵52=25，

∴这个正方形画框的边长应取5 dm.

二、讲授新课

师：请同学们填表：

正方形面积 1 9 16 36 425

边长 1 3 4 6 25

师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.

师：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记作a，读作“根号a”，a叫做被开方数.

规定：0的算术平方根是0.

师：我们一起来做题.

展示课件：

【例】 求下列各数的算术平方根：

(1)100; (2)4964; (3)0.0001.

学生活动：尝试独立完成.

教师活动：巡视、指导，派一生上黑板板演.

师生共同完成.

解：(1)∵102=100，

∴100的算术平方根是10.

即100=10.

(2)∵(78)2=4964，

∴4964的算术平方根是78，即4964=78.

(3)∵0.012=0.0001，

∴0.0001的算术平方根是0.01，

即0.0001=0.01.

三、随堂练习

课本第41页练习.

四、课堂小结

本节课你学到了哪些知识?与同伴交流.

师生共同归纳算术平方根的定义及其表示方法.

教师首先利用例子提出问题：请你说出上面等式右边各数的平方根，通过学生动脑动口加深对算术平方根概念的初步理解;然后在上面叙述的基础上提出算术平方根概念的符号表示方法，同时用练习巩固所学新知，由量变到质变，使学生能牢固掌握本节内容.

6.1平方根(2)

能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值，会用计算器.

重点

夹值法估计一个数的算术平方根的大小.

难点

夹值法估计一个数的算术平方根的大小.

一、创设情境，引入新课

师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?

运用多媒体，展示课件：

怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?

学生活动：小组合作操作、观察、交流.

二、讲授新课

师：将两个小正方形沿对角线剪开，得到几个直角三角形?

生：4个.

师：大正方形的面积多大?

生：面积为2的大正方形.

师：这个大正方形的边长如何求?

学生活动：尝试独立完成.

教师活动：启发，适时点拨.

师生共同归纳：设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知：x=2.

∴大正方形的边长为2.

师：小正方形的对角线的长为多少?

生：对角线长为2.

师：很好，2有多大呢?

学生活动：小组合作交流.

教师活动：适时启发，点拨.

师生共同归纳：

∵12=1，22=4，

∴1<2<2.

∵1.42=1.96，1.52=2.25，

∴1.4<2<1.5.

∵1.412=1.9881，1.422=2.0164，

∴1.41<2<1.42.

∵1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，

∴1.414<2<1.415.

……

如此进行下去，可以得到2的更精确的近似值.

其实，2=1.41421356……它是一个无限不循环小数，无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.

师：你能举出几个例子吗?

生：能，如：3、5、7等.

师：如何用计算器求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).

学生活动：尝试独立完成例2.

师：请同学们用计算器求出引言中的第一宇宙速度、第二宇宙速度.

学生活动：用计算器小组合作完成.

第一宇宙速度：v1≈7.9×103 m/s;

第二宇宙速度：v2≈1.1×104 m/s.

展示课件：

1.利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?

… 0.0625

0.625

6.25

62.5

625

6250

62500

…

… …

2.用计算器计算3(精确到0.001)，并利用你发现的规律说出0.03，300，30000的近似值，你能根据3的值说出30是多少吗?

师：你能说出其中的规律吗?

学生活动：小组讨论交流.

师生共同归纳：

求算术平方根时，被开方数的小数点要两位两位地移动，当被开方数向左(右)每移动两位时，它的算术平方根相应地向左(右)移动一位.

新知应用：

师：我们一起来做题：

展示课件.运用多媒体：

【例】 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.

根据边长与面积的关系得

3x•2x=300，

6x2=300，

x2=50，

x=50.

因此长方形纸片的长为350 cm.

因为50>49，所以50>7.

由上可知350>21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.

因为400=20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.

【答】 不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.

三、随堂练习

课本第44页练习.

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获?与同伴交流.

1.使每个学生都参与用计算器求一个正有理数的算术平方根，由于有的同学没有带计算器，所以没有很好地理解所学的知识.

2.平方根移动的规律，须让学生通过查表、探索、发现、总结，最好是自己找出其中所蕴含的规律.

6.八年级上册数学的实数知识点 篇六

①实数比较大小

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;

数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;

两个负数，绝对值大的反而小。

②实数大小比较的几种常用方法

数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

求差比较：设a、b是实数

a-b>0?a>b;

a-b=0?a=b;

a-b<0?a

求商比较法：设a、b是两正实数，

绝对值比较法：设a、b是两负实数，则∣a∣>∣b∣?a

平方法：设a、b是两负实数，则 a2>b2?a

2、算术平方根有关计算(二次根式)

①含有二次根号“ √ ”;被开方数a必须是非负数。

②性质：

③运算结果若含有“ √ ”形式，必须满足：

被开方数的因数是整数，因式是整式

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

3、实数的运算

①六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方。

②实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

③运算律

加法交换律 a+b= b+a

加法结合律 (a+b)+c= a+( b+c )

乘法交换律 ab= ba

乘法结合律 (ab)c = a( bc )

乘法对加法的分配律 a( b+c )=ab+ac

如何学好小学数学的方法

一、恰当的学习方法和学习习惯

1、做好课前预习，掌握听课主动权。课前准备的好坏，直接影响听课的效果。

2、专心听讲，做好课堂笔记。

3、及时复习，把知识转化为技能。

4、认真完成作业，形成技能技巧，提高分析解决问题的能力。

5、及时进行小结，把所学知识条理化、系统化。

因此，我们今后还要保持“先预习、后听讲;先复习、后作业;经常进行阶段小结”的好习惯。

二、良好的学习动机和学习兴趣

学习动机是推动你们学习的直接动力。华罗庚说：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因而，也就会挤时间来学习了。”我很高兴你们能够喜欢数学课，我希望你们在数学的学习中获得更多乐趣。

三、坚强的意志

在学习数学的过程中，你们遇到过许多大大小小的困难，你们能坚定信心，勇敢地面对困难，战胜困难，这需要坚强的意志。满怀信心地迎接困难，奋力拼搏战胜困难，就是意志坚韧的表现。你们具有这种十分可贵的品质，在学习遇到困难或挫折时，就会不灰心丧气;在取得好成绩时，也不骄傲自满，而是善于总结经验教训，探索学习的规律和方法，奋勇前进。这样才取得了好成绩。

四、自信心与勤奋

数学家张广厚说：“在学习数学的道路上没有任何捷径可走，更不能投机取巧，只有勤奋地学习，持之以恒，才会得到优秀的成绩。”你们懂得“熟能生巧”的道理，经过反复练习，你们确实取得好成绩了吧!

五﹑能做到沉稳冷静的备考，用良好的心态面对考试 做到沉稳冷静的备考是非常有必要的，在考试前不心浮气躁可以让你高速而有质量的复习。另外，用积极的心态去面对考试，能让你发挥正常水平甚至超水平发挥。

★ 八年级上册数学第二章实数知识点

★ 实数部分教学反思

★ 八年级数学教学反思

★ 八年级数学教学反思

★ 八年级数学上册《一次函数的图像》教学反思

★ 八年级数学下册教学反思

★ 八年级数学优秀教学反思

★ 八年级数学下学期教学反思

★ 八年级上册数学教学设计人教版

7.实数题中蕴含的数学思想 篇七

实数是初中数学的重要内容之一，同学们若能掌握并应用数学思想解决实数题，将有利于提高解题能力.下面结合例题介绍解实数题时常用的数学思想，供大家参考.

一、整体思想

整体思想体现在解实数问题时，是不着眼于实数的“某一项”，而是将某一问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体性质，顺利解决问题的思想方法.

例1 已知四个实数a、b、c、d满足===，则 a、b、c、d的大小关系是（ ）.

A.a>c>b>d B.b>d>a>c

C.c>a>b>d D.d>b>a>c

分析：由题意可得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，然后作差求解.

解：由题意得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，由a-2010=b+2011，得a- b=2011+2010>0，所以a>b. 由a-2010=c-2012，得a-c=2010-2012<0，所以a0，所以b>d. 所以a、b、c、d的大小关系是 c>a>b>d.故选C.

点评：本题采用整体思想免去了一些解题过程，使解题思路清晰、解题过程简捷.

二、方程思想

有些实数问题可以根据条件中的等量关系，列出方程（组）求解.

例2 已知a、b满足+=0，求2a（÷）的值.

分析：由算术平方根的意义可得4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程组得a、b的值，然后代入求值即可.

解：因为≥0，≥0，且+=0，所以4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程组，得a=-1，b=-3，所以 2a（÷）=2×（-1）×（÷）=-2×（÷）=-2×3=-6.

点评：方程思想是解决各种数学问题常用的基本思想方法之一.

三、数形结合思想

根据已知条件的特点或图形特征，利用图形的直观性求解问题.

例3 实数a、b、c在数轴上对应的点如下图所示，化简+c-1+a+b- .

分析：由图可知b

解：由题意可得b

因为a>c，所以a-c>0.

因为c<0，所以c-1<0.

因为b<0，a>0，且b>a，所以a+b<0.

因为b<0，c<0，所以b+c<0.

所以 +c-1+a+b- =a-c+c-1+a+b-b+c=（a-c）-（c-1）-（ a+b）+（ b+c）=1-c.

点评：解题时，若借助数形结合思想让问题直观化、形象化，则有利于解决问题.

四、分类讨论思想

根据代数式的某些字母的特点，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，最后给出答案.

例4 已知a是实数，试比较1+a与1-a的大小.

分析：因为（1+a）-（1-a）=2a，故要分a<0，a=0和a>0三种情况讨论.

解：因为（1+a）-（1-a）=2a，所以当a<0时，2a<0，则1+a<1-a；

当a=0时，2a=0，则1+a=1-a；

当a>0时，2a>0，则1+a>1-a.

点评：解含有字母的问题时，若字母的取值情况没有说明，则必须对字母的不同取值情况进行讨论求解.

五、观察归纳思想

在解题过程中，根据题目的特点，通过分析、猜想、归纳，从而得到问题的答案.

例5 观察下列各式：=2， =3， =4，…，请将你发现的规律用含自然数n（n>1）的等式表示出来 .

分析：观察每个等式与n的关系，把根式适当变形，分析、猜想、归纳关系.

解：=2，

=3，

=4，…，

所以上述规律用含自然数n（n>1）的等式表示出来为 =n.

点评：在解题过程中，猜想、归纳之前，一般可适当多给出一些“数值”，便于猜想、归纳，减小猜想的难度.

数学思想是数学的灵魂，因此，加强对数学思想的学习，对培养同学们的数学能力很有帮助.

8.初中数学实数问题 篇八

一、教材分析 1.教材的地位与作用

《实数》是人教教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十三章的一节概念课。本节课在学生学习了平方根以后，接触了如“ ”与“π”等具体的无理数的基础上，通过学生合作探究，揭示出中像

，π等无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。

另外，无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯。

2、教学目标

依据本节教材的特点，并结合学生的年龄特点和认知水平，确定本节课的教学目标：

知识目标——让学生了解无理数，实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，初步学会实数的大小比较，能对实数的分类进行初步的辩认。

能力目标­——了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法。

情感目标——通过合作探究，让学生经历无理数的产生过程；并向学生渗透“数形结合”及分类的数学思想，感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发和教育。

3、教学重点和难点

本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。

无理数的概念比较抽象,无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。

二、教学方法和手段

本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生学习积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。

并结合计算器、多媒体等现代教学手段实施教学，体现直观性。

三、学法指导

学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。

四、教学过程

(一)复习回顾,导入新课

1、什么叫有理数？有理数和小数的关系是什么？

2、什么叫有理数的相反数？什么叫有理数的绝对值？怎样表示的？

3、有理数有哪几条运算律？

4、什么叫数轴？怎样比较有理数的大小？

(二)合作交流,探究归纳

通过活动，让学生利用计算器将一些有理数转化为小数，引导学生比较得出无理数的概念。同时和有理数对比对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题的能力。最后，再用练习进一步加深对无理数和实数的理解，又研究了当把数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义及数的大小比较。

(四)知识应用,例题解析.通过对实数及其分类的练习和巩固，加深学生对各种数的认识，加深对实数概念的理解。(五).知识梳理,课堂小结.本节课我们学到了什么?

五、评价与反思

9.初中数学教学疑难问题 篇九

问题一：关于计算器的使用

数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？ 问题二：关于合作学习

合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？ 问题三：课本例题怎么用？

课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）

10.初中数学 几何动点问题 篇十

动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，从你初二的动点问题就不是很好这

点来看，我认为你对动点问题缺乏技巧。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线

上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知

识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想方程思想数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过

程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能

做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本

思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析

问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思

想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）

分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中

考数学试题的热点的形成和命题的动向

另外再向你推荐一道2010年山东省青岛市的中考数学最后一题

限于百度的公式无法打出，你可以自己去浏览一下。

11.初中数学实数问题 篇十一

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。重点、难点：

重点：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

难点：用数轴上的点来表示无理数。教学过程：

一、创设问题情景，引出实数的概念

1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。

2、把下列各数分别填入相应的集合内。

，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（real number）。教师点明：实数可分为有理数与无理数。

二、议一议

1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。

无理数与有理数一样，也有正负之分，如 是正的，是负的。教师提出以下问题，让学生思考：

（1）你能把，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？ 正有理数： 负有理数： 有理数： 无理数：

（2）0属于正数吗？0属于负数吗？

（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？

让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。

2、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：

在有理数中，有理数a的的相反数是什么，不为0的数a的倒数是什么。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。例如，和 是互为相反数，和 互为倒数。，。

三、想一想

让学生思考以下问题

1、a是一个实数，它的相反数为，绝对值为 ；

2、如果，那么它的倒数为。

让学生回答后，教师归纳并板书：实数a的相反数为，绝对值为，若 它的倒数为（教师指明：0没有倒数）

四、议一议。探索用数轴上的点来表示无理数

1、复习勾股定理。如图在Rt△ABC中AB= a，BC = b，AC = c，其中a、b、c满足什么条件。

当a=1，b=1时，c的值是多少？

2、出示投影（1）P45页图2—4，让学生探讨以下问题：（A）如图OA=OB，数轴上A点对应的数是多少？

（B）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满了吗？ 让学生充分思考交流后，引导学生达成以下共识：（1）A点对应的数等于，它介于1与2之间。

（2）如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数。（3）每一个褛都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

（4）一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大。

五、随堂练习

1、判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数。

2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

（1）3.8（2）（3）

（4）（5）

3、在数轴上作出 对应的点。

六、小结

1、实数的概念

2、实数可以怎样分类

3、实数a的相反数为，绝对值，若，它的倒数为。

4、数轴上的点和实数一一对应。

七、作业

课本P46习题2—8 板书设计：略

教学反思：本节内容并不复杂，大部分同学都能很好的掌握。很大部分是借助新知识回顾旧内容。2.6 实数(2).(二)能力训练要求

1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.(三)情感与价值观要求

通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。教学重点：

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：

.并能用规律进行计算.教学难点：

1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.教学方法： 类比法.教学过程： Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.Ⅱ.新课讲解

1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.［师］大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律.［生］加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.［师］好.下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了.如：，所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.计算：(1)；(2)；(3)(2)2；(4).2.做一做 填空：

(1)=_________，=_________；(2)=_________，=_________；(3)=_________，=_________；(4)_________，=_________.［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？

(a≥0,b≥0)；(a≥0,b＞0)并作一些练习.化简：

(1)；(2)－4；(3)(－1)2；(4)；(5).3.例题讲解 ［例题］化简：

(1)；(2)；(3)(+1)2；(4).Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习

化简：(1)；(2)；(3)(1+)(2－)；(4)()2.(二)补充练习1.化简：

(1)；(2)(1+)(－2)；(3)；(4)；(5)；(6)2.一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，求这个直角三角形的面积.解：S=

答：这个三角形的面积为7.5 cm2.Ⅳ.课时小结

本节课主要掌握以下内容.1.在实数范围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.2.(a≥0,b≥0)；(a≥0,b＞0)的推导及运用.Ⅴ.课后作业习题2.9 1.化简：

(1)；(2)；(3)；(4)－21.Ⅵ.活动与探究

下面的每个式子各等于什么数？.由此能得到一般的规律吗？

对于一个实数a、一定等于a吗？ 当a≥0时，=a.当a＜0时，有

所以当a＜0时，有 =－a.板书设计：

§2.6.2 实数(二)

一、有理数的运算法则在实数范围内仍然适用

二、找规律(a≥0,b≥0)；(a≥0,b＞0)

三、例题讲解

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业 教学反思：这节内容是两个公式的推导与运用。当然计算的熟练始终是初中阶段的一个大的环节，只有让学生多做练习才能熟练。有待另外花时间加大训练。2.6 实数(3)教学目标：(一)教学知识点

1.式子(a≥0,b≥0)；

(a≥0,b＞0)的运用.2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.(二)能力训练要求

1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.2.让学生能根据实例进行探索，同学们互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.(三)情感与价值观要求 1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.教学重点：

1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.教学难点：

灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.教学方法： 指导探索法.教学过程： Ⅰ.导入新课

请大家先回忆一下算术平方根的定义.下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.请同学们互相讨论后得出结果.［生］由正方形面积公式得a2=8,b2=2.所以大正方形边长a=，小正方形边长b=.［师］那么a与b之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.［生］大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以 =2.［师］非常棒，那么 根据什么法则就能化成2 呢？这就是本节课的任务.Ⅱ.新课讲解

［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ ［生］(a≥0,b≥0)；(a≥0,b＞0)［师］请大家根据上面法则化简下列式子.(1)；(2)；(3)；(4).［师］请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推.如(1)3= 能否成立？

［师］.下面再分析这些式子：

并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.［生］正好和上节课的法则相反.［师］大家能否用式子表示出来？ ［生］能.［师］没有条件限制吗？

［生］有.第一个式子加条件a≥0,b≥0.第二个式子加条件a≥0,b＞0.［师］那现在能否把 化成2 呢？ ［生］行..［师］下面我们进行简单的练习.化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).［师］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子 叫不叫化简呢？ ［生］叫化简.［师］能否说一下它的特征呢？

［生］原来被开方数中含有分母，化简后被开方数中没有了分母.［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？其实在刚才的分析中我已作过介绍，大家可否记得？

［生］记得.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.如：

但是这也不是绝对的，有时法则的运用和法则的逆运算要相互结合才能达到化简的目的.如： 例题讲解

［例1］化简：(1)；(2)；(3).［例2］化简：

(1)－2 ；(2)－ ；(3)－(4)；

Ⅲ.课堂练习

化简：(1)；(2)；(3).课堂测验1.化简：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2.化简：

(1)；(2)2 ；(3)；(4)；(5)Ⅳ.课时小结：1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.2.一般情况下应用法则