初三二次函数综合题

初三二次函数综合题（共13篇）（共13篇）

1.初三二次函数综合题 篇一

《数形结合在二次函数中的应用》课后反思

一方面由于参加了教研中心组织的初三教师解题能力测试，另外参加了李梁老师关于初高中内容衔接的讲座，使我进一步认识到在平时的教学中渗透一些初高中衔接的内容对培养学生能力是很有帮助的。另一方面，我做了天津市07—09年中考题，尤其是二次函数的综合题，我发现用数形结合的方法会比用纯代数的方法容易很多。再者我认为学生具备较强的数形结合意识会对目前解决综合题提供较大帮助。因此我着手设计本节课。其实本节课在实施过程中，我发现学生对于这个有难度的内容对自己的确没有信心，其实学生在下面做对了，但害怕说错了。另外，由于有听课老师，学生表现出来的课堂气氛没有平常活跃。致使最后一道题没有彻底解决，从而给本节课留下了一个悬念。另外，就课上两个学生的疑问，还是说明学生对这节课的内容感到有难度。我在课后会带着学生进一步探讨问题的本质，争取让班内绝大多数同学都能对本节课有进一步的理解。

在本节课设计的过程中，的确得到了很多同仁的帮助和支持，从本节课设计伊始，雷老师就全程给予我们关心和指导。我们专家听课组的于老师也的确给予了我很多帮助。从选题到讲法都给予了我很多细致如微的指导。在此我一并表示感谢。

2.初三二次函数综合题 篇二

一、利用数形结合思想求解策略

利用二次函数图像求极值问题, 是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型, 此类题综合性比较强, 涉及的知识较广, 可以结合几何图形来解题, 实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线, 图像上点的坐标就表示相关线段的长度, 点点相连成了几何图形, 实现从“数或式”到“形”的转化, 这一转化为解题创造了有利条件, 而能否熟练地解答, 则取决于是否把二者有机结合起来, 在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生, 使他们消除学习定势对解题思路的阻碍, 培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.

例1:已知函数y=x2+bx+2的图像经过点 (3, 2) .

(l) 求这个函数的关系式; (2) 画出它的图像; (3) 根据图像指出:当x取何值时, y≥2?

分析: (1) 利用待定系数法, 可以求出b的值, 从而获得函数表达式; (2) 根据函数关系式画出函数图像; (3) 借助函数图像, 由“形”想“数”, 要“确定y=2时, x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围.

解: (1) 根据题意, 得2=9+3b+2, 解得b=-3.所以函数关系式为y=x2-3x+2.

(2) 易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为 (1, 0) , (2, 0) , 与y轴的交点坐标为 (0, 2) , 对称轴为函数y=x2-3x+2的图像如图1所示.

(3) 根据图像可得, 当y=2时, 对应的x值为0和3.因此, 当x≤0或x≥3时, y≥2.

二、利用方程思想求解策略

二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时, 该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是:△>0, △=0和△<0.要判定△的值的情况, 往往要将函数y=ax2+bx+c (a≠0) 右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”.在思路上要分清:方程与△值, 函数与x轴交点, △值与x轴交点之间的关系.而当二次函数y=ax2+bx+c (≠0) 中y=0时, 二次函数就转化为一元二次方程ax2+bx+c=0, 根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.

例2:如图2, 一元二次方程x2-3x+2=0的两根x1、x2 (x1

(1) 求此二次函数的解析式;

(2) 设此抛物线的顶点为P, 对称轴与线段AC相交于点Q, 求点P和Q的坐标;

(3) 在x轴上有一动点M, 当MQ+MA取得最小值时, 求M点的坐标.

分析: (1) 求出方程的两个根, 就相当于知道了B, C两点的坐标, 进而由A、B、C三点的坐标, 利用待定系数法, 很容易求出二次函数的解析式; (2) 要求交点Q的坐标, 只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组, 解这个方程组就可得到; (3) 要求“MQ+MA”的最小值时, 只需作点A关于x轴的对称点即可, 用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.

解: (1) 解方程x2-3x+2=0, 得x1=-3, x2=1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C (-3, 0) , B (1, 0) .

将A (3, 6) , B (1, 0) , C (-3, 0) 代入抛物线的解析式, 求得所以抛物线解析式为

(2) 由得抛物线顶点P的坐标为 (-1, -2) , 对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=3k+b, 将A (3, 6) 、C (-3, 0) 代入, 求得k=1, b=3, 所以直线AC的函数关系式为y=x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=1, 两方程联立方程组, 解得x=-1, y=2, 所以点Q坐标为 (-1, 2) .

(3) 作A点关于x轴的对称点A′ (3, -6) , 连接A′Q, A′Q与x轴交点M即为所求的点.

设直线A′Q的函数关系式为y=kx+b.把A′ (3, -6) 、Q (-1, 2) 代入求解, 得b=0, k=-2.所以直线A′Q的函数关系式为y=-2x令x=0, 则y=0, 所以点M的坐标为 (0, 0) .

评析:求两个函数图像的交点问题, 其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图像的关系是, 若点的坐标满足函数关系式, 则点在函数图像上, 反之也成立本题中的第三问改为“若在y轴上有一动点N, 当NO+NA取得最小值时, 求N点的坐标”.

三、利用建模思想求解策略

对于有些简单实际问题, 可以利用二次函数进行求解.如有关最大利润、用料最省、最低成本等问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一此类题型要求学生会运用面积法、勾股法、相似法、利润法等建立函数模型, 然后利用二次函数的性质解答.这样可以培养学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.

例3:某商店经销甲、乙两种商品.甲、乙两种商品的进货单价之和是5元, 甲商品零售单价比进货单价多1元, 乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件, 共付了19元.问:

(1) 甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

(2) 该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现, 甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元, 这两种商品每天可各多销售100件.为了每天获取更大的利润, 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下, 当m定为多少时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?

分析: (l) 据题意设出未知数, 列方程组求解; (2) 根据利润=甲、乙两种商品每件的利润×销售数量, 转化为二次函数并配方, 根据图像性质求得最大利润.

解: (1) 设甲商品的进货单价是x元, 乙商品的进货单价是y元.根据题意知x+y=5和3 (x+1) +2 (2y-1) =19x, 两方程组成方程组求得x=2, y=3.

答:甲商品的进货单价是2元, 乙商品的进货单价是3元.

(2) 设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元, 则

当m=0.55时, w有最大值, 最大值为1705.

答:当m值为0.55时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大, 每天的最大利润是1705元.

综上所述, 解答二次函数综合题, 总的来讲要冷静分析, 缜密思考, 耐心梳理, 吃透题意, 运用二次函数有关性质, 同时要善于据题意采取有关数学思想:如方程的思想、数形结合思想、建模思想等, 确定解题策略, 并正确求解.

摘要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广, 是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识, 较强的分析、演算、理解能力, 因此是近年来各地中考命题的重点和热点, 引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现, 本文列举几例, 探究二次函数综合题的解题策略.

关键词：二次函数,综合题,解题策略

参考文献

[1]王赛英.新课程理念下中考“压轴题”的解题思路「J].数学通报, 2005 (02) .

[2]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[D].华东师范大学, 2007.

3.初三二次函数综合题 篇三

中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下；

一、试题展示

已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）

①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略）

二、试题功能分析

本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。

三、试题解法荟萃（例试解法略）

四、试题解答情况

1、得分情况

本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。

2、典型错误：

（1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来

（2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。

②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。

连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。

五、试题教学启示

研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。

二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。

4.初三数学二次函数的教学设计 篇四

实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.

三、课堂训练(略)

四、小结归纳：

学生谈本节课收获

1.二次函数概念

2.二次函数与一次函数的区别与联系

3.二次函数的4种常见形式

五、作业设计

㈠教材16页1、2

㈡补充：

1、①y=-x2②y=2x③y=22+x2-x3④m=3-t-t2是二次函数的是

2、用一根长60cm的铁丝围成一个矩形,矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式是____________.

3、小李存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的`函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.

4、在△ABC中，C=90,BC=a,AC=b,a+b=16,则RT△ABC的面积S与边长a的关系式是____;当a=8时，S=____;当S=24时，a=________.

5、当k=_____时，是二次函数.

6、扇形周长为10，半径为x，面积为y，则y与x的函数关系式为_______________.

7、已知s与成正比例，且t=3时，s=4，则s与t的函数关系式为_______________.

8、下列函数不属于二次函数的是

A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2D.y=1-x2

9、若函数是二次函数,那么m的值是()

A.2B.-1或3C.3D.

5.九年级二次函数综合测试题及答案 篇五

一、选择题(每题3分，共30分)

1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)（）A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()

A.(1，-4)

B.(-1，2)

C.(1，2)

D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()

A.第一象限

B.第二象限

C.x轴上

D.y轴上 4.抛物线的对称轴是()

A.x=-

2B.x=2

C.x=-

4D.x=4 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（A.ab>0，c>0 B.ab>0，c<0 C.ab<0，c>0D.ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点

在第___象限()

A.一B.二C.三D.四

7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()

A.4+m

B.m

C.2m-8

D.8-2m

8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9.已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1

2D.y2

10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()

A.C.B.D.二、填空题(每题4分，共32分)

11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：

(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题（19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19.若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴数的解析式；

对称的点A′的坐标(2)求此二次函

20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4.考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为

.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方 在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9.考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2

.的图象向，再向上平移3个单位得到 5

(2)由题设知：

∴y=x2-3x-4为所求

(3)

20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根

又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5 ∴y=x2-9为所求

(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9)

21.解：

(1)依题意：

.(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1

∴B(5，0)

由

作ME⊥y轴于点E，得M(2，9)

则

6.《二次函数 》教案 篇六

《二次函数 》教案

学习重点：通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

学习难点：理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.一、知识回顾：

1.若在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的，叫做.2.形如 的函数是一次函数，当时，它是正比例函数；

形如 的函数是反比例函数.二、探究新知：

1.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积与长方形的长之间的函数关系式为.2.支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数与球队数之间的关系式_______________________．

3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是.4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

5.归纳：一般地，形如，（）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，是___________，是_____________．

6.方法：①等号右边是整式； ②自变量最高次数为2； ③二次项系数不等于0.三、举例应用：

例1.当 值时，函数二次函数；

当 值时，函数为一次函数；

例2.下列函数中，哪些是二次函数？

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

例3.填出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

四、巩固练习：

1.下列函数中哪些是二次函数？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)．

2.若函数为二次函数，则的值为.3.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)(2)(3)

4.已知函数，(1)当为何值时，这个函数是二次函数？

(2)当为何值时，这个函数是一次函数？

五、课堂小结：

谈谈今天你的收获.六、课后作业：

数学同步练习册.随堂检测

一、选择题：

1.若是二次函数，则的值为（）

A.±2 B.﹣2 C.2 D.0

2.下列函数中是二次函数的是()

A.B.C.D.3.一定条件下,若物体运动的路段(米)与时间(秒)之间的关系为,则当秒时,该物体所经过的路程为（）

A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

二、填空题：

4.观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这6个式子中二次函数有（只填序号）.5.是二次函数，则的值为______________．

6.若物体运动的路段（米）与时间（秒）之间的关系为，则当秒时，该物体所经过的路程为.7.把函数化成的形式是.8.二次函数．当时，则这个二次函数解析式为 ．

9.是二次函数,则的值为_________________.三、解答题：

10.取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？

11.已知与成正比例,并且当时,.求与之间的函数关系式.12.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.13.某种商品的价格是2元，准备连续两次降价.如果每次降价的百分率都是，经过两次降

价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系可以用怎样的函数来表示：

7.多角度透视函数综合题的解答路径 篇七

下面举例分析函数综合题的解答路径.

一、导数的应用

导数是研究函数性质的重要工具, 从定义域出发, 用导数工具研究函数的单调性、最 (极) 值、值域等性质, 这是解答函数问题的通性通法.

例1 已知定义在R上的函数f (x) 的值域是 (-∞, 0], 并且f (x) 是单调函数, 则方程[f (x) ]3- 3f (x) - 1 = 0 的解的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

解析:令t=f (x) , 则有t3-3t-1=0.令g (t) =t3-3t-1, 则g′ (t) =3t2-3=3 (t+1) (t-1) , 可知g (t) =t3-3t-1 的图象如图1所示.

所以方程t3-3t-1=0有三个不同的解, 其中两个解是负的.已知函数f (x) 的值域是 (-∞, 0], 并且f (x) 是单调函数, 所以[f (x) ]3-3f (x) -1=0有两个不同的解.

故选B.

评注:这是一道涉及函数、方程、求导方法等知识的综合题, 主要考查分析问题、解决问题的能力, 考查对转化、变形、构造函数等方法的掌握, 考查导数的应用及画函数图形的几何直观思想, 属于难度较大的新颖题.

二、构造函数

对于某些没有函数的数学问题, 或者虽然有函数, 但通过一定的变形, 可以构造出新的函数的问题, 我们可以通过构造函数, 利用导数的相关知识来处理, 使问题快速获解.

所以f (θ) =C (常数) .

因为f (0) =1+cos2α-2cos2α-sin2α=0,

所以f (θ) =0.

故cos2θ+cos2 (α+θ) -2cosαcosθcos (α+θ) =sin2α.

评注:构造函数并求导, 若其导函数的值为零, 则该函数就是常值函数.这里是通过作差来构造函数, 有时, 也可以通过作商来构造函数, 或者先变形然后再通过作差来构造函数.构造函数的方式不同, 可使问题求解的繁简程度不同.例如:当x>0时, 求证:ex>x2.若构造函数f (x) =ex-x2, 需二次求导, 解答较复杂;若构造函数, 用一次求导就可以了;若把所证不等式ex>x2等价变形为x>2ln x, 通过作差构造函数h (x) =x-2ln x, 解答也很简单.看来, 解题思维的灵活性、变通性需要通过不断地琢磨、感悟来培养.

例3 已知a, b, c为正实数, 且a+b+c=12, ab+bc+ca=45, 试求abc的最大值和最小值.

解析:由a+b+c=12, 得a+c=12-b, 将其代入ab+bc+ca=45的变形式b (a+c) +ca=45, 得b (12-b) +ca=45, 即ca=b2-12b+45.

于是, 有函数f (b) =abc= (b2-12b+45) b=b3-12b2+45b (2≤b≤6) , 求导, 得f′ (b) =3b2-24b+45=3 (b-3) (b-5) .令f′ (b) =0, 得b=3或b=5.

当2≤b<3时, f′ (b) >0;当3<b<5时, f′ (b) <0;当5<b≤6时, f′ (b) >0, 于是, 函数的最大值为[f (b) ]max= max{f (3) , f (6) }=54.

不难得到, 当a=3, b=6, c=3, 或a=6, b=3, c=3, 或a=3, b=3, c=6时, abc取得最大值54.

函数的最小值为[f (b) ]min=min{f (2) , f (5) }=50.

不难得到, 当a=2, b=5, c=5, 或a=5, b=2, c=5, 或a=5, b=5, c=2时, abc取得最小值50.

评注:这个解法妙在把三个变量的问题转化为一个变量的问题来求解, 其中代入消元是关键.构造函数后, 还需要特别注意函数的定义域.三个变量的函数最值问题同学们可能都比较陌生, 而一个变量的函数最值问题大家就比较熟悉了, 这体现了函数思想和化归与转化思想的巨大作用.

三、参数的处理

函数综合题中多涉及参数, 处理参数常见的方法有:参数的分类讨论、消参数、分离参数等, 这些处理方法的使用需要读者在做题、读题的过程中去总结和把握.

例4已知函数.

(1) 当a≤1/2时, 讨论f (x) 的单调性;

(2) 设g (x) =x2-2bx+4, 当a=1/4时, 若对任意x1∈ (0, 2) , 存在x2∈[1, 2], 使f (x1) ≥g (x2) , 求实数b的取值范围.

解析: (1) 当a≤0时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递增;

当a=1/2时, 函数f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减;

当0<a<1/2时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在上单调递增, 在上单调递减. (过程略)

(2) 已知a=1/4∈ (0, 1/2) , 由 (1) 知函数f (x1) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, 2) 上单调递增, 从而在 (0, 2) 上有.

由题意知只需[f (x1) ]min≥[g (x2) ]min即可, 解得b≥ (17) /8.

综上, 实数b的取值范围是[ (17) /8, +∞) .

评注:第 (2) 问的求解关键是将问题转化为求[f (x1) ]min≥[g (x2) ]min的相关问题.

例5 设函数f (x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点x1, x2, 且x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2].求证:-10≤f (x2) ≤- (1/2) .

解析:f′ (x) =3x2+6bx+3c, 由题意可知, x1, x2是关于主元x的一元二次方程3x2+6bx+3c=0的两个实数根, 从而由根与系数的关系, 得x1+x2=-2b, x1x2=c.

下面研究函数的单调性.

因为x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2],

这说明函数在[1, 2]上是递减函数, 于是有f (2) ≤f (x2) ≤f (1) , 即-4+6x1≤f (x2) ≤- (1/2) + (3/2) x1.

因为x1∈ [-1, 0], -4+6x1和- (1/2) + (3/2) x1均是增函数,

评注:对于多参问题, 视其中一个参数为“主元”, 其余为常数, 将此看作一个一元函数, 用函数的单调性就可获得不等式的证明, 请读者回味并琢磨思考之.类似的题目是:设函数f (x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点x1, x2, 且x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2], 试求函数值f (x1) 的取值范围.请给出你的答案.

四、不等式的证明

对于此类问题, 可通过构造函数, 利用导数研究所构造函数的单调性, 获得函数最值, 进而证明目标不等式.其中, 代数变形的方法不同, 可能建构的函数就不同, 其解题难度就有一定的区别.

例6 (2015年安庆市模拟) 已知函数.

(1) 若f (x) 在区间 (-∞, 2) 上为单调递增函数, 求实数a的取值范围;

(2) 若a=0, x0<1, 设直线y=g (x) 为函数f (x) 的图象在x=x0处的切线, 求证:f (x) ≤g (x) .

解析: (1) 由已知, 得.

由已知, 得f′ (x) ≥0对任意x∈ (-∞, 2) 恒成立.

故由x≤1-a对任意x∈ (- ∞, 2) 恒成立, 得1-a≥2, 则a≤-1即为所求.

(2) 证明:若a=0, 则.

函数f (x) 在x=x0处的切线方程为y=g (x) =f′ (x0) (x-x0) +f (x0) .

当x=x0时, f (x) =g (x) .

当x≠x0时, 要证f (x) <g (x) , 即证f (x) -g (x) <0.

令h (x) =f (x) -g (x) =f (x) -f′ (x0) (x-x0) -f (x0) (作差构造函数) , 则

设φ (x) = (1-x) ex0- (1-x0) ex, x∈R (再次局部构造函数) , 则φ′ (x) =-ex0- (1-x0) ex.

因为x0<1, 所以φ′ (x) <0.

所以φ (x) 在R上单调递减.

而φ (x0) =0,

所以当x<x0时, φ (x) >0, 当x>x0时, φ (x) <0;

即当x<x0时, h′ (x) >0, 当x>x0时h′ (x) <0.

所以h (x) 在区间 (-∞, x0) 上为增函数, 在区间 (x0, +∞) 上为减函数.

所以当x≠x0时, h (x) <h (x0) =0, 即有f (x) <g (x) .

综上所述, f (x) ≤g (x) .

评注:上面的证明中构造了两次函数, 其实, 将所要证明的不等式变形, 则只需构造一次即可.不等式, 构造函数.所以[h (x) ]max=h (x0) =0, 于是h (x) ≤0.原不等式获证.

例7 (2015年西北工业大学附中模拟) 已知函数f (x) =ex.

(1) 当f (x) ≥ex+a对任意的实数x恒成立, 求a的取值范围;

解析: (1) 设g (x) =f (x) -ex-a, 则g′ (x) =ex-e.

由g′ (x) >0, 得x>1;由g′ (x) <0, 得x<1.所以g (x) 在 (1, +∞) 上单调递增;在 (-∞, 1) 上单调递减.

所以[g (x) ]min=g (1) =-a≥0, 从而可得a的取值范围为a≤0.

(2) 证明:设a=ln m, b=ln n, 则所证不等式可化为.

构造函数.

可以证明h (x) 在 (1, +∞) 上为增函数, 则当x>1时, h (x) >h (1) =0.

若x<y, x, y∈R, 求证:

(2013年陕西高考试题) . (*)

事实上 (*) 式等价于2ey-2ex< (y-x) · (ey+ex) .

构造函数h (y) = (y-x) (ey+ex) - (2ey-2ex) (x<y, x, y∈R) (视x为常数, y为变量, 获得1元函数) .

求导, 得h′ (y) = (y-x) ey- (ey-ex) (难求零点, 需要再构造函数) .

构造函数g (y) = (y-x) ey- (ey-ex) (x<y, x, y∈R) , 求导, 得g′ (y) = (y-x) ey>0 (x<y, x, y∈R) , 所以函数g (y) = (y-x) ey- (ey-ex) 在 (x, +∞) 上是增函数, 得g (y) >g (x) =0, 也就是在 (x, +∞) 上h′ (y) >0, 从而, 函数h (y) 在 (x, +∞) 上是增函数, 得h (y) >h (x) =0, 故 (*) 式获证.

五、综合题探究

在解答函数综合性问题时, 要善于挖掘问题的本质, 建立知识之间的联系, 并要会活用坐标方法、三角方法、导函数方法、向量方法等解题方法, 择优而用之.

例8 某建筑物内有一个水平直角型过道如图2所示, 两过道的宽度均为3m, 有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道, 若该设备水平截面矩形的宽为1m, 长为7m, 问:该设备能否水平移进拐角过道?

解析:由题设, 我们分别以直线OB, OA为x轴, y轴建立直角坐标系, 问题可转化为:求以M (3, 3) 点为圆心, 1为半径的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截得的线段AB的长的最小值.

设直线AB的方程为, 因为它与圆 (x-3) 2+ (y-3) 2=1相切,

又因为原点O (0, 0) 与点M (3, 3) 在直线的异侧,

下面求的最小值.

再设t=sinθ+cosθ, 因为θ∈ (0, π/2) , 所以.代入 (3) , 得, 所以rt2-6t-r+2=0.

8.函数图象综合题的解决之道 篇八

■ 一次函数和反比例函数

函数图象能形象、直观地反映两个变量之间的对应关系，充分展示函数变量之间的变化规律. 解决一次函数和反比例函数的综合题，关键是运用数形结合思想，把图形问题转化为代数问题.

■ （2011浙江台州）如图1，反比例函数y=■的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点M，N，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1，根据图象信息可得关于x的方程■=kx+b的解为（ ）

■

A. -3，1 B. -3，3

C. -1，1 D. 3，-1

■ 把M（1，3）的坐标代入y=■，求得m=3，所以y=■. 再把y＝－1代入y=■，求得x＝-3，故关于x的方程的解为x＝-3或x=1.

■ A.

■ （2011广西来宾）已知反比例函数y■=■的图象与一次函数y■=ax+b的图象交于点A（1，4）和B（m，-2），如图2.

■

（1）求这两个函数的关系式.

（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围.

（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积.

■ 一次函数和二次函数

此类问题主要考查两个函数的图象与性质，可以用排异法，或在同一坐标系中先确定两个函数图象中的一个，再判断另一个.

■ （2011湖南湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）

■

■ 本题考查函数的图象与性质，先根据一次函数y=ax+1过点（0，1）排除D，再根据二次函数y=x2+a开口向上排除B. 当a＞0时，A，C均不可能；当a＜0时，A不可能，只有C可能．

■ C .

■ （2011广西贺州）函数y=ax－2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

■

■ 反比例函数和二次函数图象

可将其转化为求方程的解的问题，即转化为二次函数的图象与反比例函数的图象的交点问题.

■ （2011江苏无锡）如图3，抛物线y=x2+1与双曲线y=■的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式■+x2+1<0的解集是（ ）

■

A． x>1 B． x<－1

C． 0

■ 由题设，易知y=■，从而■+x2+1<0等价于■<-x2-1，由二次函数的图象知，y=-x2-1开口向下，顶点在（0，-1），与y=■的交点的横坐标为-1，故关于x的不等式■+x2+1<0的解集是－1

■ D.

■ （2011江苏扬州）如图4，已知函数y=－■与y=ax2+bx（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+■=0的解为________.

■

■ 三种函数的综合

此类问题一般是先已知某个函数的图象，再以已知函数的系数为载体找出另外两个函数在同一直角坐标系下的函数的大致图象.

解决问题的关键是由已知函数的图象判断出字母系数的正负、大小关系，再通过分类讨论或排除法对答案进行筛选，进而得出最终答案.

■

■ （2011山东莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图5所示，则函数y=■与y=acx的图象在同一坐标系中可能是（ ）

■

■ 由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下可得a<0，抛物线与y轴负半轴相交可得c<0，由对称轴在y轴右侧可得－■>0，因此b>0. 从而可确定函数y=■的图象在第二、四象限，函数y=acx的图象经过第一、三象限，因此只有A正确.

■ A.

■

■ 二次函数y=ax2+bx+x的图象如图6所示，则反比例函数y=－■与一次函数y=bx+c的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ）

9.二次函数教学反思 篇九

从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。

重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我才意识其实这节课的重点实际上应该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上，有了这个认识，一切变得简单了！

对于实际问题的选择，我将4个问题整和于同一个实际背景下，这样设计既能引起学生兴趣，也尽量减少学生审题的时间，显得非常有层次性，这些实际问题贯穿整个课堂的始终，使整个课堂有浑然天成的感觉。

对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。

10.《二次函数复习》评课 篇十

整节课的学习，看得出章教师准备的比较充分，清楚知道学生应该理解什么，掌握什么，学会什么。老师是学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生是一个发现者、探索者，有效的发挥他们的学习主体作用。章老师是让学生“体会知识”，而不是“教学生知识”，学生成了学习的主人，突出学生的主体地位。以下是我的一些肯定与不同意见及一些不成熟建议。

（一）、从教学目标的制定上来说：目标明确全面、具体、适宜，能从知识、能力、思想情感等几个方面来确定；知识目标有量化要求，能力、思想情感目标要有明确要求，体现学科特点；能以大纲为指导，体现九年级毕业考学生的特点，符合学生年龄实际和认识规律。

（二）、从目标达成来看，教学目标是明确地体现在每一教学环节中，教学手段也都能紧密地围绕目标，为实现目标服务。课堂上教师开门见山出示复习课题，尽快地接触重点内容，重点内容的教学时间得到了保证，重点知识和技能得到了巩固和强化（求不规则四边形的面积问题）。

（三）、教学思路：符合教学内容实际，符合学生实际；有一定的独创性，超凡脱俗给学生以新鲜的感受；教学思路的层次，脉络清晰；章老师在课堂上教学思路实际运作十分清晰。

（四）、语言教态：章老师课堂上的教态是明朗、快活、庄重，富有感染力。仪表端庄，举止从容，态度热情，热爱学生，师生情感交融。语言清楚（有点带黄坦口腔），富有启发性。语调高，声音洪亮，快慢适度，抑扬顿挫，富于变化。

(五）、师生互动：本节课上师生互动频繁，形成了良好的双边关系使教师的主导作用和学生和主体作用和主观能动性得到了充分的发挥。通过多媒体的制作使学生的注意力能长时间的集中在教师的教学内容上。

（六）、本节亮的：上课开始，教师开门见山出示复习课题，接着出示第一张ppt,例1（1）填空。让学生直接做抛物线中几个最基本的点的坐标，这也是新授课不同之处。新授课未必上课就出示课题，它可以在新授中，甚至在学习结束时。而复习课上的内容都是学生早就知道的，不必在转弯抹角，而应直截了当地进入主题。学生回答小结后，出示例1（2）求不规则四边形的面积。让学生自己去体会发现二次函数的图像有关面积的求法，并且放手让学生独立思考，时间足够，学生每回答一种方法，教师作一小结（转化思想）。这样的做法可以让学生自己积极的思考，使学生的思维变的更积极，更主动。体现出章老师知道在教学过程中着重发展学生的自主性、独立性和创造性，知道教师的教是为学生的学服务的。所以说章老师这点的想法、做法上看是成功的。最后的小结让学生归纳，也很好。

（七）、不同意见：a:在例1的变式（3）中，抛物线平移后，出现的抛物线的一次项系数、常数项是带字母的多项式难度加大。学生几乎不会，因初中不要求用十字相乘因式分解，也不要求在根号内含字母的计算化简。用含m的代数式表示A、B两点的坐标。几乎“全军覆没”。例1（4）又是比较简单。但（3）不会，又何做（4）呢？b:例1（2）图形的割、补是求不规则图形的面积的常用方法教师没点拨。数形结合是求二次函数问题中的关键教师没强调。

(八)、不成熟建议：A：例1（3）改为简单，上、下平移几个单位用具体数字，把{4}中的改成等于几分之几的三角形面积，在x轴下方的抛物线上也有点的坐标。B:图形的割、补是求不规则图形的面积的常用方法，数形结合是求二次函数问题中的关键，教师要点拨，并强调。C: 每次都让学生站来回答问题，给予他及时的肯定与鼓励，使学生在肯定中变的积极，在肯定中变的自信，在肯定中得到进步。D::课堂语言组织再精炼些，使我们的学生在我们的语言中感觉到学习的乐趣、领受知识、训练思维。临时应变能力有待加强。这仅是我个人的想法。

11.二次函数教学手记 篇十一

二次函数从认识一般式y=ax2+bx+c(a≠0）入手，根据定义作为考点。进而先学习二次函数的另外一种形式顶点式y=a(x-h)2+k，分别从顶点为（0,0），（0，k),对称轴为y轴；（h,0）,（h,k）,对称轴为x=h。

在学习顶点式的同时让学生根据列表，描点，连线作出函数图像，根据图像探索发现并总结出图像顶点，开口方向，开口大小，对称轴，图像增减性与各项系数之间的关系。而顶点的确定可以先从二次项讨论取最值，从而由确定函数的最值找到顶点。例如：y=-(x-2)2-3, ∵-(x-2)2≤0 ∴ 当x=2时-（x-2）2的最大值为0，此时整个函数值也有最大值-3，所以顶点为（2，-3）。

在确定对称轴时，可以引导学生如何折图像使得本身重合，更形象的让学生掌握找对称轴。也考察了y=ax2与y=a(x-h)2+k两个函数图像之间的位置关系，也就是考点之一平移，图像的平移可以认为是点的平移即顶点的平移，由（0,0）到（h,k）,左右平移横坐标变化，上下平移纵坐标变化，这样更容易让学生掌握。

当学习二次函数的一般式的时候，我们可以引导学生去如何把新问题转换为旧知识来解决问题，从而又巩固训练如何利用配方法把一

b24acb2般式转换为顶点式(y=ax+bx+c转换为y=a(x+)+)。由此得

2a4a2

b4acb2到新的求顶点的方法，即顶点公式（-,）。

2a4a掌握了二次函数的基础知识后，是对综合知识的应用。用待定系数法求二次函数解析式，在讲授是可以重点讲解求一般式和顶点式两种方法，当有三个点时应用一般式由此列出一个三元一次方程组或者二元一次方程组。当有一个点的为顶点和另一点时可以用顶点式，先根据顶点列出顶点式，在把另一点坐标代入解析式，求出a的值。对于交点式可以作为课外了解，可以方便特定情况下的求解，例如求对称轴可以应用。

关于利用函数图像确定一般式中a,b,c的取值情况，可以综合相关知识求解，a由开口方向确定，b由对称轴的取值范围确定，c由函数图像与y轴的交点位置确定。二次函数与一元二次方程的关系，二次函数y=ax2+bx+c与X轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的解之间的联系，可以从三种情况进行探究，即交点个数来掌握，讨论=b-4ac2的取值情况确定函数图像与X轴的交点个数，由此也引入二次函数与不等式的关系，即y=ax2+bx+c＞（＜）0，由函数图像在X轴上部（下部）时x的取值来求解不等式的解集，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：①a+b+c<0；②a－b+c＞0； 以及讨论当x=1(-1;2;-2)时，y=a+b+c(a-b+c;4a+2b+c;4a-2b+c)＞（＜，≥，≤）0,应用作图像时的描点方法都可以从函数图像中读出信息；当判断二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+b的大小关系时，可以从两个函数的交点左右比较高低，从而得出不等式的解集。如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围-2＜x＜1内y2的位置高于y1．

对于二次函数的实际应用难点是学生根据题意列出一个正确的二次函数关系式，通常函数解析式的二次项系数为负数，求最大利润问题，再求最大利润是可以应用顶点公式。

12.《二次函数》教学反思 篇十二

优点：

1、课件制作有演示图形的变换与呈现的结果，帮助学生更好地理解图形变换的规律和特点，认识问题的本质，突破难点。

2、练习题的选择以模考、练考、往届中考及中考说明为主，强调了所学知识如何在做题中应用，提高学生的解题能力。

3、在复习过程中强调了数学思想方法的应用，如整体代入的思想，数形结合的思想，逆向思维的方式等，提升了学生的数学思维，教学反思《二次函数与图形变换教学反思》。

4、以表格的形式对本节课的知识进行总结和梳理，使学生对本节课的内容有一个整体的回顾，从认识到数学思考对学习的重要作用。

缺点：

1、上课气氛过于沉闷，由于选择的题型较有难度，使不少学生独立思考问题时缺少解题的方法和技巧，耽误了一些时间。

2、学生对于本节课的内容没有充足的时间进行反思和总结，很多规律由老师代替总结。

3、由于时间关系，所涉及的内容较多所以留给学生思考和进行展示的机会太少。

4、讲课的内容可能没有照顾到全体学生，有少部分学生对本节课的知识掌握的不好。

努力的方向：

1、进一步研究考试说明，使初三总复习能够更有效进行。

2、认真钻研各种题型，引导学生总结解题方法以及所运用的数学思想。

3、备好学生，使课堂气氛更活跃一些。

专家点评：

1、用图像研究函数应指明关键地方。

2、图形变换与a、b、c、h、k、x1、x2相关，每种变换与常数有什么关系应明确指出。

平移————a、b、c

旋转————h、k

对称————x1、x2

3、明确函数的解析式应能够画出图像草图进行分析。

4、教案中突现学生为主体。

5、应在平时的讲课过程中培养学生表述问题的能力，引入学生之间的交流、评价，易于提升课堂气氛。

13.二次函数1 篇十三

二次函数

一、选择题〔共30分〕

1.在以下关系式中,y是x的二次函数的关系式是

（）

A.2xy+x2=1

B.y2-ax+2=0

C.y+x2-2=0

D.x2-y2+4=0

2.设等边三角形的边长为x(x>0〕，面积为y，那么y与x的函数关系式是（）

A.B.C.D.3.抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，那么c等于（）

A.-16

B.-4

C.8

D.16

4.假设直线y=ax＋b

(a≠0〕在第二、四象限都无图像，那么抛物线y=ax2+bx+c

（）

A.开口向上，对称轴是y轴

B.开口向下，对称轴平行于y轴

C.开口向上，对称轴平行于y轴

D.开口向下，对称轴是y轴

5.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图像可能是

〔

〕

6.抛物线y=-x2+mx+n的顶点坐标是〔-1，-

3)，那么m和n的值分别是〔

〕

A.2,4

B.-2,-4

C.2,-4

D.-2,0

7.对于函数y=-x2+2x-2使得y随x的增大而增大的x的取值范围是

（）

A.x>-1

B.x≥0

C.x≤0

D.x<-1

8.抛物线y=x2-(m+2)x+3(m-1)与x轴

〔

0

A.一定有两个交点

B．只有一个交点

C．有两个或一个交点

D．没有交点

9.二次函数y=2x2+mx-5的图像与x轴交于点A

(x1,0〕、B(x2，0),且x12+x22=，那么m的值为〔

〕

A.3

B.-3

C.3或-3

D.以上都不对

10.对于任何的实数t，抛物线

y=x2

+

(2-t)

x

+

t总经过一个固定的点，这个点是

（）

A

.(1,0)

B.〔-l,0)

C.〔-1,3)

D.(l,3)

二、填空题〔共30

分〕

11.抛物线y=-2x+x2＋7的开口向，对称轴是，顶点是,所在象限是

.12.假设二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图像过原点，那么m的值是

.13.如果把抛物线y=2x2-1向左平移l个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线

是

.14.对于二次函数y=ax2,当x由1增加到2时，函数值减少4，那么常数a的值是

.15.二次函数y=x2-6x+n的最小值为1，那么n的值是

.16.抛物线在y=x2-2x-3在x轴上截得的线段长度是

.17.设矩形窗户的周长为6m，那么窗户面积S(m2〕与窗户宽x

(m)之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是

.18.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2-2x-5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，那么△ABC的面积是

.19.抛物线上有三点(-2,3〕、〔2,-8〕、〔1,3)，此抛物线的解析式为

.20.一个二次函数与x轴相交于A、B,与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是

.三、解答题〔共60分〕

21.(8分〕抛物线的顶点坐标为M(l,-2)，且经过点N(2,3)．求此二次函数的解析式．

22.(10分〕把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移l个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a、b、c的值，并画出一个比拟准确的示意图．

23.(10分)炮弹的运行轨道假设不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600cm，炮弹运行的最大高度为1200m.(l〕求此抛物线的解析式．

(2〕假设在A、B之间距离A点500m处有一高350cm的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.24.(10分〕函数y

=

x2+bx-1的图像经过〔3,2).(l〕求这个函数的解析式；

(2〕画出它的图像，并指出图像的顶点坐标；

(3〕当x>0时，求使y2的x的取值范围．

25.(10分〕利用9m长的木料做一“日〞字形窗框，它的长和宽各为多少时，窗户面积最大？

26.(12分〕卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部．在大桥截面1:11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE//AB，如左图所示；在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如右图所示．

(1〕求出右图x轴以上这一局部抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；